Wachstum einer Sonnenblume - Lösung

Lösung zu a) Berechnung der Anfangshöhe

Variante: Über den Gesamtzuwachs (Bestandsrekonstruktion) Bei dieser Methode berechnen wir zuerst, wie viel die Sonnenblume im Zeitraum von $t=0$ bis $t=32$ insgesamt gewachsen ist, und ziehen diesen Zuwachs von der Endhöhe ab.

Berechnung des Integrals (Zuwachs): Wir berechnen das bestimmte Integral der Wachstumsrate $w(t)$ im Intervall $[0; 32]$: $$ \begin{aligned} \Delta h &= \int_{0}^{32} \left( -\frac{3}{1024}t^2 + \frac{3}{32}t + \frac{9}{4} \right) dt \\ \Delta h &= \left[ -\frac{1}{1024}t^3 + \frac{3}{64}t^2 + \frac{9}{4}t \right]_{0}^{32} \\ \Delta h &= \left( -\frac{32^3}{1024} + \frac{3 \cdot 32^2}{64} + \frac{9 \cdot 32}{4} \right) - (0) \\ \Delta h &= (-32 + 48 + 72) - 0 \\ \Delta h &= 88 \end{aligned} $$ Die Sonnenblume ist in den ersten 32 Tagen also insgesamt $88\,\text{cm}$ gewachsen.
Bestimmung der Anfangshöhe: Da die Pflanze nach 32 Tagen $108\,\text{cm}$ hoch ist, muss sie zu Beginn folgende Höhe gehabt haben: $$ \begin{aligned} h(0) = h(32) - \Delta h = 108\,\text{cm} - 88\,\text{cm} = \mathbf{20\,\text{cm}} \end{aligned} $$

Lösung zu b) Ermittlung der Funktionsgleichung

Die Bestandsfunktion $h(t)$ setzt sich aus dem Anfangsbestand $h(0)$ und dem Zuwachs bis zum Zeitpunkt $t$ zusammen: $$ \begin{aligned} h(t) = h(0) + \int_{0}^{t} w(x) \, dx \end{aligned} $$

Eingesetzt ergibt das: $$ \begin{aligned} h(t) &= 20 + \left( -\frac{1}{1024}t^3 + \frac{3}{64}t^2 + \frac{9}{4}t \right)\\ h(t) &= -\frac{1}{1024}t^3 + \frac{3}{64}t^2 + \frac{9}{4}t + 20 \end{aligned} $$

c) Interpretation im Sachzusammenhang

$\int_{t_0}^{t_1} w(t)dt$: Dieser Term gibt das Gesamtwachstum (die Höhenzunahme) der Sonnenblume im Zeitraum vom Tag $t_0$ bis zum Tag $t_1$ in Zentimetern an.
$\frac{1}{t_1-t_0} \cdot \int_{t_0}^{t_1} w(t)dt$: Dies ist der Mittelwert der Funktion $w(t)$. Er gibt die durchschnittliche Wachstumsrate der Sonnenblume im Zeitraum $[t_0; t_1]$ in cm/Tag an. Der zweite Term beschreibt also die konstante Rate, mit der die Blume hätte wachsen müssen, um im selben Zeitraum den gleichen Höhenzuwachs zu erzielen.