Bestimmte Integrale mit Parameter - Lösung
Hier sind die detaillierten Berechnungen für die Bestimmung des Parameters \(a\):
a) \(\int_{a}^{4} (\frac{x^2}{2}) \, dx = 12\)
- Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{6}x^3\)
- Berechnung:
\[\begin{align*}
\int_{a}^{4} (\frac{x^2}{2}) \, dx &= [\frac{1}{6}x^3]_a^4 \\
&= (\frac{1}{6} \cdot 4^3) - (\frac{1}{6} \cdot a^3) \\
&= \frac{64}{6} - \frac{a^3}{6} \\
\frac{64 - a^3}{6} &= 12 \quad |\cdot 6 \\
64 - a^3 &= 72 \quad |-64 \\
-a^3 &= 8 \quad |\cdot (-1) \\
a^3 &= -8 \quad |\sqrt[3]{\dots} \\
a &= -2
\end{align*}\]
b) \(\int_{0}^{3} (3x^2 - a) \, dx = 9\)
- Stammfunktion: \(F(x) = x^3 - ax\)
- Berechnung:
\[\begin{align*}
\int_{0}^{3} (3x^2 - a) \, dx &= [x^3 - ax]_0^3 \\
&= (3^3 - a \cdot 3) - (0^3 - a \cdot 0) \\
&= 27 - 3a \\
27 - 3a &= 9 \quad |-27 \\
-3a &= -18 \quad |:(-3) \\
a &= 6
\end{align*}\]
c) \(\int_{0}^{a} (3x^2) \, dx = a\)
- Stammfunktion: \(F(x) = x^3\)
- Berechnung:
\[\begin{align*}
\int_{0}^{a} (3x^2) \, dx &= [x^3]_0^a \\
&= a^3 - 0 \\
a^3 &= a \quad |-a \\
a^3 - a &= 0 \quad |a \text{ ausklammern} \\
a(a^2 - 1) &= 0 \\
a_1 = 0; \quad &a_2 = 1; \quad a_3 = -1
\end{align*}\]
d) \(\int_{a}^{2a} (x) \, dx = 6\)
- Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{2}x^2\)
- Berechnung:
\[\begin{align*}
\int_{a}^{2a} (x) \, dx &= [\frac{1}{2}x^2]_a^{2a} \\
&= \frac{1}{2}(2a)^2 - \frac{1}{2}a^2 \\
&= \frac{1}{2}(4a^2) - \frac{1}{2}a^2 \\
&= 2a^2 - 0,5a^2 \\
1,5a^2 &= 6 \quad |:1,5 \\
a^2 &= 4 \quad |\sqrt{\dots} \\
a_1 = 2; \quad &a_2 = -2
\end{align*}\]