Funktionsgleichung ablesen - Lösung
1. Bestimmung von \(f(x)\) (Grad 3)
Der Sattelpunkt liegt bei \(S(0|1)\). Die Form ist \(f(x) = a\cdot x+^3 + 1\). Ein weiterer Punkt (z.B. der Punkt bei \(P(2|-1)\)) hilft, \(a\) zu bestimmen:
\[\begin{align*}
-1 &= a\cdot 2^3 + 1 \\
-2 &= 8\cdot a \\
a &= -\frac{1}{4}
\end{align*}\]
Gleichung: \(f(x) = -\frac{1}{4}x^3 + 1\)
- Definitionsbereich: \(D = \mathbb{R}\)
- Wertebereich: \(W = \mathbb{R}\)
2. Bestimmung von \(g(x)\) (Exponent -2)
Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -1\), die waagerechte bei \(y = 1\). Form: \(g(x) = \frac{a}{(x + 1)^2} + 1\). Punktprobe mit \(Q(0|2)\):
\[\begin{align*}
2 &= \frac{a}{(0 + 1)^2} + 1 \\\
1 &= \frac{a}{1} \\
a &= 1
\end{align*}\]
Gleichung: \(g(x) = \frac{1}{(x + 1)^2} + 1\)
- Definitionsbereich: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\)
- Wertebereich: \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 1\}\)
3. Funktion \(h(x)\) und Schnittpunkte
Die Funktion \(y = x^4\) wird um 2 nach links und 1 nach oben verschoben: Gleichung: \(h(x) = (x + 2)^4 + 1\)
Schnittpunkte mit \(f(x)\): Ansatz
\[
h(x) = f(x)
\]
Der CAS liefert:
- \(x_1=-4\), mit \(f(x_1)=17\) folgt der erste Schnittpunkt \(S_1(-4|17)\)
- \(x_2\approx-1,1929\), mit \(f(x_2)\approx 1,4244\) folgt der zweite Schnittpunkt \(S_2(-1,1929|1,4244)\)