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Umfassende Funktionsanalyse - Tipp

Zu Teilaufgabe a)

  • Nullstellen: Klammern Sie zuerst \(x\) aus. Nutzen Sie dann für den verbleibenden quadratischen Term die \(p-q\)-Formel.
  • Extrempunkte: Bilden Sie die ersten beiden Ableitungen. Lösen Sie \(f'(x) = 0\) und prüfen Sie mit \(f''(x)\).
  • Wendepunkt: Zeigen Sie, dass \(f''(x) = 0\) genau eine Lösung besitzt und dass die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich Null ist.

Zu Teilaufgabe b)

Tragen Sie zuerst die berechneten Punkte (\(N, H, T, W\)) in ein Koordinatensystem ein. Berechnen Sie zusätzlich die Randwerte \(f(-1)\) und \(f(2)\), um den Verlauf im Intervall präzise skizzieren zu können.

Zu Teilaufgabe c)

  1. Berechnen Sie den \(y\)-Wert \(f(0,5)\) und die Steigung \(m = f'(0,5)\).
  2. Stellen Sie die Tangentengleichung \(t(x) = mx + n\) auf.
  3. Das Dreieck ist rechtwinklig (da es an den Achsen liegt). Die Kathetenlängen entsprechen dem Betrag des \(y\)-Achsenabschnitts (\(n\)) und der Nullstelle der Tangente (\(x_0\)).
  4. Formel: \(A = \frac{1}{2} \cdot |x_0| \cdot |n|\).

Zu Teilaufgabe d)

  1. Bestimmen Sie die Steigung \(m_g\) der Geraden \(g\) mit der Formel \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).
  2. Da die Tangenten parallel zu \(g\) sein sollen, muss gelten: \(f'(x) = m_g\).
  3. Lösen Sie diese Gleichung nach \(x\) auf.