Dreieck und Kurvenschar - Lösung

1. Bestimmung der Eckpunkte

Zuerst berechnen wir die Nullstellen, um die Grundseite $g$ zu bestimmen: $$ f_a(x) = x \cdot \left( \frac{3-4a^2}{16a^2}x - \frac{3-4a^2}{4a} \right) = 0 $$

$x_1 = 0$
$x_2 = 4a$ (durch Nullsetzen der Klammer)
Grundseite: $g = 4a - 0 = 4a$

Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion liegt mittig zwischen den beiden Nullstellen bei $x_s = \frac{0 + 4a}{2} = 2a$. Der y-Wert (Höhe $h$) ist:

\[\begin{align*} h &= |f_a(2a)| \\ &= \left| \frac{3-4a^2}{16a^2} \cdot (2a)^2 - \frac{3-4a^2}{4a} \cdot 2a \right| \\ &= \left| \frac{3-4a^2}{4} - \frac{3-4a^2}{2} \right| \\ &= \left| -\frac{3-4a^2}{4} \right| \\ &= \frac{|3-4a^2|}{4} \end{align*}\]

2. Aufstellen der Flächenfunktion

\[\begin{align*} A(a) &= \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ &= \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot \frac{|3-4a^2|}{4} \\ &= \frac{1}{2} |3a - 4a^3| \end{align*}\]

Da für das Intervall $[\frac{1}{5}, \frac{4}{5}]$ der Ausdruck $3a - 4a^3$ positiv bleibt, betrachten wir: $$ A(a) = 1,5a - 2a^3 $$

3. Optimierung

Ableitungen bilden:

$A'(a) = 1,5 - 6a^2$
$A''(a) = -12a$

Notwendige Bedingung $A'(a) = 0$:

\[\begin{align*} 1{,}5 - 6a^2 &= 0 \\ 6a^2 &= 1{,}5 \\ a^2 &= 0{,}25 \\ a &= \pm 0{,}5 \end{align*}\]

Die negative Lösung entfällt, da sie nicht im Intervall $[\frac{1}{5}, \frac{4}{5}]$ liegen würde. Hinreichende Bedingung: $A''(0,5) = -6 < 0 \implies$ Maximum.

4. Randwertbetrachtung

Um sicherzustellen, dass das lokale Maximum bei $a = 0,5$ auch das globale Maximum im Intervall $[\frac{1}{5}, \frac{4}{5}]$ (entspricht $[0,2; 0,8]$) ist, prüfen wir die Funktionswerte an den Grenzen:

Linker Randwert ($a = 0,2$): $$ A(0,2) = 1,5 \cdot 0,2 - 2 \cdot (0,2)^3 = 0,284 $$
Lokales Maximum ($a = 0,5$): $$ A(0,5) = 0,5 $$
Rechter Randwert ($a = 0,8$): $$ A(0,8) = 1,5 \cdot 0,8 - 2 \cdot (0,8)^3 = 0,176 $$

Da $0,5 > 0,284$ und $0,5 > 0,176$, ist das globale Maximum im gegebenen Intervall tatsächlich bei $a = 0,5$.

5. Endergebnis

Der gesuchte Parameter ist $a = 0,5$. Die maximale Fläche beträgt:

\[ A(0,5) = 0,5 \]