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Funktionsscharen und Ortskurven - Lösung

a) Bestimmen von \(a\) für eine Extremstelle bei \(x_0 = 1\)

Ableitungen bilden: $$\begin{aligned} f_a'(x) &= 3ax^2 - 4x \\ f_a''(x) &= 6ax - 4 \end{aligned} $$ Notwendige Bedingung \(f_a'(1) = 0\): $$\begin{aligned} 3a(1)^2 - 4(1) &= 0 \\ 3a - 4 &= 0 \\ a &= \frac{4}{3} \end{aligned} $$ Art der Extremstelle prüfen mit \(f_{4/3}''(1)\): $$\begin{aligned} f_{4/3}''(1) &= 6 \cdot \frac{4}{3} \cdot 1 - 4 \\ f_{4/3}''(1) &= 8 - 4 = 4 \end{aligned} $$ Da \(f_{4/3}''(1) = 4 > 0 \implies\) Tiefpunkt/Minimum (T).

b) Extrempunkte in Abhängigkeit von \(a\)

Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\): $$\begin{aligned} 3ax^2 - 4x &= 0 \\ x \cdot (3ax - 4) &= 0 \end{aligned} $$ \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{4}{3a}\). Hinreichende Bedingung:

  • \(f_a''(0) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt/Maximum (H).
  • \(f_a''(\frac{4}{3a}) = 6a \cdot \frac{4}{3a} - 4 = 8 - 4 = 4 > 0 \implies\) Tiefpunkt/Minimum (T).

\(y\)-Koordinaten:

  • \(f_a(0) = 4 \implies H(0|4)\)
  • \(f_a(\frac{4}{3a}) = a \cdot (\frac{4}{3a})^3 - 2 \cdot (\frac{4}{3a})^2 + 4 = a \cdot \frac{64}{27a^3} - 2 \cdot \frac{16}{9a^2} + 4 = \frac{64}{27a^2} - \frac{32}{9a^2} + 4 = \frac{64-96}{27a^2} + 4 = 4 - \frac{32}{27a^2}\)

Ergebnis: \(H(0|4)\) und \(T(\frac{4}{3a} | 4 - \frac{32}{27a^2})\).

c) Ermitteln der Ortskurve der Tiefpunkte

Die Koordinaten des Tiefpunkts sind \(x = \frac{4}{3a}\) und \(y = 4 - \frac{32}{27a^2}\).

  1. \(x\)-Koordinate nach \(a\) auflösen: $$\begin{aligned} x &= \frac{4}{3a} \\ a &= \frac{4}{3x} \end{aligned} $$
  2. \(a\) in \(y\)-Koordinate einsetzen: $$\begin{aligned} y &= 4 - \frac{32}{27 \cdot (\frac{4}{3x})^2} \\ y &= 4 - \frac{32}{27 \cdot \frac{16}{9x^2}} \\ y &= 4 - \frac{32 \cdot 9x^2}{27 \cdot 16} \\ y &= 4 - \frac{2 \cdot x^2}{3} \end{aligned} $$ Ergebnis: Die Ortskurve der Minima ist \(y = -\frac{2}{3}x^2 + 4\) für \(x>0\).