Der Pflanztrog - Tipp

Der Trog wird durch \(f(x) = \frac{1}{4}x^2 - 4\) beschrieben. Die Oberkante liegt auf der x-Achse (\(y=0\)).
Die maximale Höhe ist der Abstand vom tiefsten Punkt (Scheitelpunkt) bis zur x-Achse.

Querschnittsfläche: Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall \([-4; 4]\) mit einem Integral. Da die Fläche unter der Achse liegt, nimm den Betrag.
Volumen: Ein Trog ist mathematisch ein Prisma. Es gilt: \(V = A_{\text{Querschnitt}} \cdot \text{Länge}\).
Einheiten: Achte darauf, dass die Länge in Dezimetern (\(12 \text{ m} = 120 \text{ dm}\)) gerechnet wird, damit das Ergebnis direkt in Litern (\(1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ l}\)) herauskommt.

Zulauf: Das Volumen des Wassers nach einer Zeit \(t\) berechnet sich durch \(V(t) = 15 \frac{\text{l}}{\text{min}} \cdot t\).
Wasserstand: Wenn das Wasser \(h\) Dezimeter hoch steht, reicht es im Koordinatensystem von \(y = -4\) bis \(y = -4 + h\).
Du musst also die Grenzen des Integrals so anpassen, dass nur der untere Teil der Parabel gefüllt ist. Um die x-Grenzen für eine bestimmte Höhe \(h\) zu finden, löse \(f(x) = -4+h\) nach \(x\) auf.