Dreieck und Parabel - Lösung
a) Bestimmen des Scheitelpunkts \(S\)
Aus der Scheitelpunktform \(f(x) = -(x - a)^2 + (4 - a)\) lässt sich der Scheitelpunkt direkt ablesen: $$ \begin{aligned} S(a \mid 4 - a) \end{aligned} $$
b) Bestimmen des Parameters \(a\) für die Fläche \(A = 2\)
1. Rechte Nullstelle \(N\) berechnen: $$ \begin{aligned} 0 &= -(x - a)^2 + (4 - a) \\ (x - a)^2 &= 4 - a \\ x - a &= \pm \sqrt{4 - a} \\ x &= a \pm \sqrt{4 - a} \end{aligned} $$ Da die rechte Nullstelle gesucht ist: \(N(a + \sqrt{4 - a} \mid 0)\).
2. Flächeninhalt aufstellen:
Die Grundseite \(g\) auf der \(x\)-Achse ist \(x_n\), die Höhe \(h\) ist \(y_s\):
$$
\begin{aligned}
A &= \frac{1}{2} \cdot (a + \sqrt{4 - a}) \cdot (4 - a) = 2
\end{aligned}
$$
Mit dem Taschenrechner erhält man die Lösungen \(a=3\) und \(a=-1,679\). Die negative Lösung entfällt, da sie nicht im Intervall \(0 < a < 4\) liegt.
Der gesuchte Parameter ist \(a = 3\).
c) Rechtwinkligkeit
Rechter Winkel bei \(O\)
Ein rechter Winkel wäre im Ursprung denkbar. Dieser entsteht jedoch nur, falls \(a=0\), was laut Aufgabenstellung \((0<a<4)\) nicht möglich ist.
Rechter Winkel bei \(S\)
Die Steigung \(m_1\) von \(O(0|0)\) zu \(S(a|4-a)\) ist: $$ \begin{aligned} m_1 = \frac{4 - a - 0}{a - 0} = \frac{4 - a}{a} \end{aligned} $$ Die Steigung \(m_2\) von \(S(a|4-a)\) zu \(N(a + \sqrt{4 - a}|0)\) ist: $$ \begin{aligned} m_2 = \frac{0 - (4 - a)}{(a + \sqrt{4 - a}) - a} = \frac{-(4 - a)}{\sqrt{4 - a}} = -\sqrt{4 - a} \end{aligned} $$ Bedingung für rechten Winkel: \(m_1 \cdot m_2 = -1\) $$ \begin{aligned} \frac{4 - a}{a} \cdot (-\sqrt{4 - a}) &= -1 \\ \frac{(4 - a) \cdot \sqrt{4 - a}}{a} &= 1 \\ (4 - a)^{1,5} &= a \end{aligned} $$ Diese Gleichung lässt sich für \(a \approx 2,272\) (numerisch) mit dem Taschenrechner lösen.