Normalengleichung - Lösung

a) Berechnen der Normalengleichung an der Stelle \(x_0 = -1\)

Zuerst bestimmen wir den Punkt \(P(-1 | f(-1))\) und die Steigung \(f'(-1)\):

\(f(x) = -\frac{5}{4}x^3 + \frac{7}{4}x + 1\)
\(f'(x) = -\frac{15}{4}x^2 + \frac{7}{4}\)

Einsetzen von \(x_0 = -1\):

\(f(-1) = -\frac{5}{4}(-1)^3 + \frac{7}{4}(-1) + 1 = 0,5\)
\(f'(-1) = -\frac{15}{4}(-1)^2 + \frac{7}{4} = -2\)

Die Steigung der Normalen \(m_n\) ist: $$ \begin{aligned} m_n &= -\frac{1}{f'(-1)} \\ m_n &= -\frac{1}{-2} = 0,5 \end{aligned} $$

Aufstellen der Geradengleichung: $$ \begin{aligned} n(x) &= m \cdot (x - x_0) + y_0 \\ n(x) &= 0,5 \cdot (x - (-1)) + 0,5 \\ n(x) &= 0,5x + 0,5 + 0,5 \\ n(x) &= 0,5x + 1 \end{aligned} $$

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b) Ermitteln der weiteren Stelle

Die Normale \(n(x) = 0,5x + 1\) hat die Steigung \(m_n = 0,5\). Damit sie an einer Stelle \(x\) eine Normale ist, muss dort die Tangentensteigung \(f'(x) = -2\) betragen: $$ \begin{aligned} f'(x) &= -2 \\ -\frac{15}{4}x^2 + \frac{7}{4} &= -2 \\ -\frac{15}{4}x^2 &= -3,75 \\ x^2 &= 1 \\ x_1 = -1& \text{ oder } x_2 = 1 \end{aligned} $$

Die Stelle \(x_1 = -1\) ist bereits aus a) bekannt. Wir prüfen die Stelle \(x_2 = 1\):
Punkt auf dem Graphen: \(f(1) = -\frac{5}{4}(1)^3 + \frac{7}{4}(1) + 1 = 1,5\).
Punkt auf der Normalen: \(n(1) = 0,5(1) + 1 = 1,5\).

Ergebnis: Da \(f(1) = n(1)\) und die Steigungsbedingung erfüllt ist, ist die Gerade auch an der Stelle \(x_2 = 1\) eine Normale.