Wurzel-Tangente - Lösung

Bestimmen der Tangentengleichung

Gegeben ist $f(x) = \sqrt{x} + 1$ und die Stelle $x_0 = 9$. Zuerst bilden wir die Ableitung: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Für die Tangente $t(x) = m \cdot x + c$ gelten an der Stelle $x_0 = 9$ folgende Bedingungen:

I: Gemeinsamer Punkt ($f(x_0) = t(x_0)$) $$ \begin{aligned} f(9) &= \sqrt{9} + 1 = 4 \\ 4 &= m \cdot 9 + c \end{aligned} $$

II: Gemeinsamer Anstieg ($f'(x_0) = m$) $$ \begin{aligned} f'(9) &= \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{6} \\ m &= \frac{1}{6} \end{aligned} $$

Lösen des Gleichungssystems

Wir setzen $m = \frac{1}{6}$ aus Bedingung II in die Gleichung aus Bedingung I ein: $$ \begin{aligned} 4 &= \frac{1}{6} \cdot 9 + c \\ 4 &= 1,5 + c \\ c &= 2,5 \end{aligned} $$

Ergebnis: Durch Einsetzen von $m$ und $c$ in die allgemeine Geradengleichung erhalten wir: $t(x) = \frac{1}{6}x + 2,5$