Grill und Chill Lounge - Lösung

1. Bestimmung der nördlichen Grenzfunktion \(g(x)\)

Allgemeiner Ansatz: \(g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) Bedingungen für Trassierung:

\(g(2)=2\) und \(g(4)=4\) (versatzfrei)
\(g'(2)=0\) und \(g'(4)=0\) (knickfrei)

Daraus ergibt sich das System:

I. \(8a + 4b + 2c + d = 2\)
II. \(64a + 16b + 4c + d = 4\)
III. \(12a + 4b + c = 0\)
IV. \(48a + 8b + c = 0\)

Das Gleichungssystem lässt sich auch mithilfe des CAS lösen.

Lösung: \(a = -0,5\); \(b = 4,5\); \(c = -12\); \(d = 12\)
\(\implies g(x) = -0,5x^3 + 4,5x^2 - 12x + 12\)

Teilaufgabe a) Die Nord-Süd-Teilung

Gesucht ist \(t\), sodass die Fläche halbiert wird:

\[\begin{align*} \int_{2}^{t} g(x) \, dx &= \int_{t}^{4} g(x) \, dx \\ \text{Liefert: } t_1 &\approx 3,199 \\ t_2 &\approx 6,523 \text{ (entfällt, da außerhalb des Intervalls)} \end{align*}\]

Ergebnis: Die Nord-Süd-Linie liegt bei \(x \approx 3,2\).

Teilaufgabe b) Zaun durch den Wendepunkt

Wendepunkt berechnen: \(g''(x) = -3x + 9 = 0 \implies x_w = 3\). \(g(3) = 3\). Wendepunkt \(W(3|3)\).
Lineare Funktion des Zauns: \(f(x) = mx + 3 - 3m\) (geht durch \(W\)).
Nullstelle des Zauns: \(f(x_0) = 0 \implies x_0 = 3 - \frac{3}{m}\).
Flächenansatz:

\(\int_{2}^{3} g(x) \, dx + \int_{3}^{3-\frac{3}{m}} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} g(x) \, dx\)
Dies liefert für die Steigung: \(m = -7,2\). 5. Abstandsberechnung:

Nullstelle \(x_0 = 3 - \frac{3}{-7,2} = \frac{41}{12} \approx 3,417\).
Peters südwestliches Grundstücksende liegt bei \(x=4\).
Abstand \(d = 4 - \frac{41}{12} = \frac{7}{12} \text{ LE}\).
Umrechnung: \(\frac{7}{12} \text{ LE} \cdot 10 \text{ m/LE} \approx 5,833 \text{ m}\).

Ergebnis: Der Abstand zum südwestlichen Grundstücksende beträgt ca. \(5,83 \text{ m}\).