Tangente und Normale - Lösung

a) Bestimmen der Tangentenstelle

Zuerst bilden wir die Ableitung von $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x$: $f'(x) = x^2 - 3$.

Die Tangente $t(x) = 6x + 18$ hat die Steigung $m = 6$. Wir suchen Stellen mit dieser Steigung: $$ \begin{aligned} f'(x) &= 6 \\ x^2 - 3 &= 6 \\ x^2 &= 9 \\ x_1 = 3&, x_2 = -3 \end{aligned} $$

Nun prüfen wir die Funktionswerte an diesen Stellen:

$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 3(3) = 9 - 9 = 0$
$f(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 - 3(-3) = -9 + 9 = 0$

Vergleich mit den Werten der Tangente $t(x)$:

$t(3) = 6(3) + 18 = 36 \neq f(3)$
$t(-3) = 6(-3) + 18 = -18 + 18 = 0 = f(-3)$

Ergebnis: Die Gerade $t$ ist eine Tangente an $f$ an der Stelle $x = -3$.

b) Ermitteln der Ursprungsgeraden als Normalen

Wir setzen für die Ursprungsgerade $n(x) = m \cdot x$ an. Eine solche Gerade ist eine Normale an der Stelle $x$, wenn gilt: $$ \begin{aligned} \text{I: }\quad & m \cdot x = f(x) \\ \text{II: }\quad & \frac{-1}{m} = f'(x) \end{aligned} $$

Einsetzen der Funktionsterme: $$ \begin{aligned} \text{I: }\quad & m \cdot x = \frac{1}{3}x^3 - 3x \\ \text{II: }\quad & \frac{-1}{m} = x^2 - 3 \end{aligned} $$

Die Lösung dieses Systems (z. B. mittels CAS) liefert die möglichen Steigungen $m$ für die gesuchten Ursprungsgeraden: $$ \begin{aligned} n_1(x) &= \frac{1}{3}x \\ n_{2,3}(x) &= (\pm \frac{\sqrt{6}}{3} - 1) \cdot x \end{aligned} $$

Ergebnis: Es gibt drei Ursprungsgeraden, welche Normalen der Funktion $f$ sind.