Pythagoras-Prickler - Lösung

Lösung zu a)

Gegeben: $V = 270\text{ cm}^3$, $d = 11,4\text{ cm} \implies r = 5,7\text{ cm}$, $H_{ges} = 18\text{ cm}$.

Berechnung der Kegelhöhe $h_k$: $$ \begin{aligned} 270 &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 5,7^2 \cdot h_k \\ h_k &= \frac{810}{\pi \cdot 32,49} \\ h_k &\approx 7,94\text{ cm} \end{aligned} $$

Berechnung der Stiellänge $L$: $$ \begin{aligned} L &= 18\text{ cm} - 7,94\text{ cm} \\ L &= 10,06\text{ cm} \approx \mathbf{10\text{ cm}} \end{aligned} $$

Lösung zu b)

Gegeben: $\Delta V = 50\text{ cm}^3$ und $\Delta h = 1\text{ cm}$.

Option 1: Integralrechnung

Die Steigung der Randfunktion $f(x) = m \cdot x$ beträgt $m = \frac{5,7}{7,94} \approx 0,7179$. $$ 50 = \pi \cdot \int_{h}^{h+1} (0,7179 \cdot x)^2 \, dx $$ Aulösen mit dem CAS liefert: $$ h \approx 5,05\text{ cm} $$

Altes Volumen: $V_{alt} = 0,5397 \cdot 5,05^3 \approx \mathbf{69,5\text{ ml}}$.

Option 2: Ähnlichkeit (Strahlensatz)

Wir nutzen den Volumenfaktor $c = \frac{270}{7,94^3} \approx 0,539$. $$ \begin{aligned} V(h) &= 0,539 \cdot h^3 \\ 0,539 \cdot (h_1 + 1)^3 - 0,539 \cdot h_1^3 &= 50 \\ (h_1 + 1)^3 - h_1^3 &= \frac{50}{0,539} \approx 92,76 \end{aligned} $$ Die Lösung der quadratischen Gleichung $3h_1^2 + 3h_1 - 91,76 = 0$ ergibt $h_1 \approx 5,05\text{ cm}$. Eingesetzt in $V(h_1)$: $$ \begin{aligned} V_{alt} &= 0,539 \cdot 5,05^3 \approx \mathbf{69,4\text{ ml}} \end{aligned} $$ Zuvor befanden sich ca. $69\text{ ml}$ Flüssigkeit im Glas.

🍸 Das offizielle Rezept: Pythagoras-Prickler

Ein Drink nach dem Gesetz der Geometrie!

Um den perfekten mathematischen Rauschzustand zu erreichen, müssen die Zutaten im exakten quadratischen Verhältnis zueinander stehen. Nur so ergibt die Mischung eine perfekte Hypotenuse im Glas!

Zutaten:

3 cl naturtrüber Apfelsaft (die erste Kathete $a$)
4 cl Bitter-Lemon (die zweite Kathete $b$)
5 cl eiskaltes Club-Soda (die erfrischende Hypotenuse $c$)

Zubereitung:

Gießen Sie zuerst den Apfelsaft und das Bitter-Lemon in das kegelförmige Glas.
Rühren Sie kurz um, damit sich die Katheten vereinen.
Krönen Sie das Ganze mit dem Club-Soda.

Mathematischer Serviervorschlag: Genießen Sie den Drink in vollen Zügen, denn wie schon die alten Griechen wussten: $$ \begin{aligned} a^2 + b^2 &= c^2 \\ 3^2 + 4^2 &= 5^2 \\ 9 + 16 &= 25 \end{aligned} $$ Prost! Aber Vorsicht: Wer zu viel mischt, teilt womöglich durch Null.