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Substitutionsmethode - Lösung

a) Berechnung der Nullstellen von \(f(x) = x^4 - 10x^2 + 9\)

1. Substitution: Setze \(u = x^2\). Daraus folgt \(u^2 = x^4\). $$ \begin{aligned} u^2 - 10u + 9 &= 0 \end{aligned} $$ 2. Lösung der quadratischen Gleichung (\(pq\)-Formel): $$ \begin{aligned} u_{1,2} &= 5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 9} \\ u_{1,2} &= 5 \pm \sqrt{16} \\ u_{1,2} &= 5 \pm 4 \\ u_1 = 9&; \quad u_2 = 1 \end{aligned} $$ 3. Resubstitution (\(x = \pm \sqrt{u}\)): $$ \begin{aligned} x^2 = 9 &\Rightarrow x_1 = 3; \quad x_2 = -3 \\ x^2 = 1 &\Rightarrow x_3 = 1; \quad x_4 = -1 \end{aligned} $$ Die Nullstellen sind \(L = \{-3; -1; 1; 3\}\).

b) Berechnung der Nullstellen von \(f(x) = x^4 - 20x^2 + 64\)

1. Substitution: Setze \(u = x^2\). $$ \begin{aligned} u^2 - 20u + 64 &= 0 \end{aligned} $$ 2. Lösung der quadratischen Gleichung: $$ \begin{aligned} u_{1,2} &= 10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 64} \\ u_{1,2} &= 10 \pm \sqrt{36} \\ u_{1,2} &= 10 \pm 6 \\ u_1 = 16&; \quad u_2 = 4 \end{aligned} $$ 3. Resubstitution: $$ \begin{aligned} x^2 = 16 &\Rightarrow x_1 = 4; \quad x_2 = -4 \\ x^2 = 4 &\Rightarrow x_3 = 2; \quad x_4 = -2 \end{aligned} $$ Die Nullstellen sind \(L = \{-4; -2; 2; 4\}\).