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Bestimmte Integrale - Lösung

Hier sind die vollständigen Rechenwege im Detail:

a) \(\int_{1}^{2} (x^3 - 2x + 5) \, dx\)

  • Stammfunktion: \(F(x)=\frac{1}{4}x^4 - x^2 + 5x\)
  • Berechnung:
\[\begin{align*} \int_{1}^{2} (x^3 - 2x + 5) \, dx &= [\frac{1}{4}x^4 - x^2 + 5x]_1^2 \\ &= (\frac{1}{4} \cdot 2^4 - 2^2 + 5 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 1^4 - 1^2 + 5 \cdot 1) \\ &= (4 - 4 + 10) - (0,25 - 1 + 5) \\ &= 10 - 4,25 \\ &= 5,75 \end{align*}\]

b) \(\int_{1}^{2} (\frac{3}{x^2} + x) \, dx\)

  • Stammfunktion: \(F(x)=-\frac{3}{x} + \frac{1}{2}x^2\) (da \(\frac{3}{x^2} = 3x^{-2}\))
  • Berechnung:
\[\begin{align*} \int_{1}^{2} (3x^{-2} + x) \, dx &= [-\frac{3}{x} + \frac{1}{2}x^2]_1^2 \\ &= (-\frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot 4) - (-\frac{3}{1} + \frac{1}{2} \cdot 1) \\ &= (-1,5 + 2) - (-3 + 0,5) \\ &= 0,5 - (-2,5) \\ &= 3 \end{align*}\]

c) \(\int_{1}^{4} (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) \, dx\)

  • Stammfunktion: \(F(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}}\)
  • Berechnung:
\[\begin{align*} \int_{1}^{4} (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}) \, dx &= [\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x}]_1^4 \\ &= (\frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2) - (\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1) \\ &= (\frac{16}{3} + 4) - (\frac{2}{3} + 2) \\ &= \frac{28}{3} - \frac{8}{3} = \frac{20}{3} \\ &\approx 6,67 \end{align*}\]

d) \(\int_{0}^{\pi} (3\sin(x) - \cos(x)) \, dx\)

  • Stammfunktion: \(F(x)=-3\cos(x) - \sin(x)\)
  • Berechnung:
\[\begin{align*} \int_{0}^{\pi} (3\sin(x) - \cos(x)) \, dx &= [-3\cos(x) - \sin(x)]_0^{\pi} \\ &= (-3\cos(\pi) - \sin(\pi)) - (-3\cos(0) - \sin(0)) \\ &= (-3 \cdot (-1) - 0) - (-3 \cdot 1 - 0) \\ &= 3 - (-3) \\ &= 6 \end{align*}\]

e) \(\int_{0}^{2} (0,5x - 1)^3 \, dx\)

  • Stammfunktion: \(F(x)=\frac{1}{4 \cdot 0,5}(0,5x - 1)^4 = 0,5(0,5x - 1)^4\)
  • Berechnung:
\[\begin{align*} \int_{0}^{2} (0,5x - 1)^3 \, dx &= [0,5(0,5x - 1)^4]_0^2 \\ &= (0,5(0,5 \cdot 2 - 1)^4) - (0,5(0,5 \cdot 0 - 1)^4) \\ &= (0,5 \cdot 0^4) - (0,5 \cdot (-1)^4) \\ &= 0 - 0,5 \\ &= -0,5 \end{align*}\]

f) \(\int_{1}^{2} \frac{1}{(x + 1)^3} \, dx\)

  • Stammfunktion: \(F(x)=-\frac{1}{2}(x + 1)^{-2} = -\frac{1}{2(x+1)^2}\)
  • Berechnung:
\[\begin{align*} \int_{1}^{2} (x + 1)^{-3} \, dx &= [-\frac{1}{2(x+1)^2}]_1^2 \\ &= (-\frac{1}{2(2+1)^2}) - (-\frac{1}{2(1+1)^2}) \\ &= (-\frac{1}{18}) - (-\frac{1}{8}) \\ &= -\frac{4}{72} + \frac{9}{72} \\ &= \frac{5}{72} \approx 0,069 \end{align*}\]