Normannisches Fenster - Tipp

1. Die Geometrie zerlegen

Das Fenster besteht aus einem Rechteck (Breite \(d\), Höhe \(h\)) und einem aufgesetzten Halbkreis.

• Der Radius des Halbkreises ist \(r = \frac{d}{2}\).

2. Nebenbedingung (Fläche)

Die Gesamtfläche ist auf \(A = 4\,\rm m^2\) festgelegt. Sie setzt sich zusammen aus:

• Fläche Rechteck: \(A_{Rec} = d \cdot h\)
• Fläche Halbkreis: \(A_{Kreis} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 = \frac{1}{8} \cdot \pi \cdot d^2\)

Stelle die Gleichung \(4 = d \cdot h + \frac{\pi}{8}d^2\) nach \(h\) um, um die Höhe in Abhängigkeit von der Breite auszudrücken.

3. Zielfunktion (Rahmenlänge)

Die Länge des Rahmens \(L\) soll minimal werden. Der äußere Rahmen besteht aus:

• Der Unterseite (\(d\))
• Den zwei vertikalen Seiten (\(2h\))
• Dem gebogenen Teil des Halbkreises (\(b = \frac{1}{2} \cdot 2 \pi r = \frac{\pi}{2}d\))

Setze dein \(h\) aus der Nebenbedingung hier ein, um die Funktion \(L(d)\) zu erhalten, die du dann ableiten kannst.