Anstieg an einer Stelle - Lösung

a) Bestimmen von \(f(-2)\) und Aufstellen des Differenzenquotienten

Gegeben ist \(f(x) = 4x^2 - 4x\) und \(x_0 = -2\).

Zuerst bestimmen wir den Funktionswert an der Stelle \(-2\): $$ \begin{aligned} f(-2) &= 4 \cdot (-2)^2 - 4 \cdot (-2) \\ &= 4 \cdot 4 + 8 \\ &= 24 \end{aligned} $$

Nun stellen wir den Differenzenquotienten auf: $$ \begin{aligned} \frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} &= \frac{4(-2+h)^2 - 4(-2+h) - 24}{h} \end{aligned} $$

b) Bestimmen des Anstiegs mit dem Grenzwert

Alternative 1: h-Methode

Wir vereinfachen den Zähler des Ausdrucks aus Teilaufgabe a) unter Anwendung der binomischen Formel: $$ \begin{aligned} \frac{4(4 - 4h + h^2) + 8 - 4h - 24}{h} &= \frac{16 - 16h + 4h^2 + 8 - 4h - 24}{h} \\ &= \frac{4h^2 - 20h}{h} \end{aligned} $$

Nun berechnen wir den Grenzwert \(f'(-2)\): $$ \begin{aligned} f'(-2) &= \lim_{h \to 0} \frac{4h^2 - 20h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot (4h - 20)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (4h - 20) \\ &= -20 \end{aligned} $$

Alternative 2: \(x \to x_0\)-Methode

Hierbei nutzen wir den Grenzwert für \(x \to -2\): $$ \begin{aligned} f'(-2) &= \lim_{x \to -2} \frac{f(x) - f(-2)}{x - (-2)} \\ &= \lim_{x \to -2} \frac{4x^2 - 4x - 24}{x + 2} \end{aligned} $$

Wir klammern im Zähler die \(4\) aus und faktorisieren den quadratischen Ausdruck (z. B. durch Polynomdivision oder Vieta): $$ \begin{aligned} f'(-2) &= \lim_{x \to -2} \frac{4(x^2 - x - 6)}{x + 2} \\ &= \lim_{x \to -2} \frac{4(x - 3)(x + 2)}{x + 2} \\ &= \lim_{x \to -2} 4(x - 3) \\ &= 4(-2 - 3) \\ &= -20 \end{aligned} $$

Der Anstieg der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0 = -2\) beträgt somit in beiden Fällen \(-20\).