Hyperbel und Rechtecke - Lösung
a) Flächeninhalt und Vermutung
Wählt man für \(a=1\) verschiedene Punkte wie \(P(1|1), Q(2|0,5)\) oder \(R(0,5|2)\), ergibt das Produkt \(x \cdot f(x)\) immer \(1\).
Beweis: $\(A = x \cdot f(x) = x \cdot (a \cdot x^{-1}) = x \cdot \frac{a}{x} = a\)$ Da sich \(x\) kürzt, bleibt der Flächeninhalt für jeden Punkt konstant \(a\).
b) Fall \(a=2\)
Der Flächeninhalt beträgt für alle Rechtecke \(A = 2\). Für ein Quadrat müssen die Seiten gleich lang sein:
\[
\begin{aligned}
x &= f(x) \\
x &= \frac{2}{x} \\
x^2 &= 2 \implies x = \sqrt{2} \quad (\text{da } x > 0)
\end{aligned}
\]
Der Punkt lautet \(\mathbf{P(\sqrt{2} | \sqrt{2})}\).