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Wendepunkte - Lösung

a) Bestimmen der Wendepunkte von \(f(x) = x^3 + 6x^2 - 10x\)

Ableitungen bilden: $$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 + 12x - 10 \\ f''(x) &= 6x + 12 \\ f'''(x) &= 6 \end{aligned} $$ Notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\): $$\begin{aligned} 6x + 12 &= 0 \\ 6x &= -12 \\ x_w &= -2 \end{aligned} $$ Art des Wendepunktes (\(f'''(-2) = 6 > 0\)): \(f'''(-2) = 6 > 0 \implies\) Rechts-Links-Wendepunkt (W) Punktkoordinaten: \(f(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 - 10(-2) = -8 + 24 + 20 = 36 \implies W(-2|36)\).

Wendetangente \(t(x) = m \cdot x + n\): Steigung \(m = f'(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) - 10 = 12 - 24 - 10 = -22\). $$\begin{aligned} y &= m \cdot x + n \\ 36 &= -22 \cdot (-2) + n \\ 36 &= 44 + n \\ n &= -8 \end{aligned} $$ Gleichung: \(t(x) = -22x - 8\)

b) Bestimmen der Wendepunkte von \(f(x) = x - 6x^{-1} + 10x^{-2}\)

Ableitungen bilden: $$\begin{aligned} f'(x) &= 1 + 6x^{-2} - 20x^{-3} \\ f''(x) &= -12x^{-3} + 60x^{-4} \\ f'''(x) &= 36x^{-4} - 240x^{-5} \end{aligned} $$ Notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\): $$\begin{aligned} -\frac{12}{x^3} + \frac{60}{x^4} &= 0 \quad | \cdot x^4 \\ -12x + 60 &= 0 \\ 12x &= 60 \\ x_w &= 5 \end{aligned} $$ Art des Wendepunktes (\(f'''(5) = 36 \cdot 5^{-4} - 240 \cdot 5^{-5} = 0,0576 - 0,0768 = -0,0192 < 0\)): \(f'''(5) < 0 \implies\) Links-Rechts-Wendepunkt (W) Punktkoordinaten: \(f(5) = 5 - \frac{6}{5} + \frac{10}{25} = 5 - 1,2 + 0,4 = 4,2 \implies W(5|4,2)\).

Wendetangente: Steigung \(m = f'(5) = 1 + \frac{6}{25} - \frac{20}{125} = 1 + 0,24 - 0,16 = 1,08\). $$\begin{aligned} 4,2 &= 1,08 \cdot 5 + n \\ 4,2 &= 5,4 + n \\ n &= -1,2 \end{aligned} $$ Gleichung: \(t(x) = 1,08x - 1,2\)

c) Bestimmen der Wendepunkte von \(f(x) = \frac{1}{2}x^4 + x^3\)

Ableitungen bilden: $$\begin{aligned} f'(x) &= 2x^3 + 3x^2 \\ f''(x) &= 6x^2 + 6x \\ f'''(x) &= 12x + 6 \end{aligned} $$ Notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\): $$\begin{aligned} 6x^2 + 6x &= 0 \\ 6x(x + 1) &= 0 \\ x_{w1} &= 0, \quad x_{w2} = -1 \end{aligned} $$ Art der Wendepunkte:

  • \(f'''(0) = 6 > 0 \implies\) Rechts-Links-Wendepunkt (\(W_1\))
  • \(f'''(-1) = -12 + 6 = -6 < 0 \implies\) Links-Rechts-Wendepunkt (\(W_2\))

Besonderheit bei \(W_1\):
Da zusätzlich \(f'(0) = 0\) gilt, ist \(W_1(0|0)\) ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also ein Sattelpunkt.

Punktkoordinaten und Tangenten:

  1. \(W_1(0|0)\): \(m = f'(0) = 0 \implies t_1(x) = 0\)
  2. \(W_2(-1|-0,5)\): \(m = f'(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 = -2 + 3 = 1\). $$\begin{aligned} -0,5 &= 1 \cdot (-1) + n \\ -0,5 &= -1 + n \\ n &= 0,5 \end{aligned} $$ Gleichung: \(t_2(x) = x + 0,5\)