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Olympiaschanze - Lösung

a) Bestimmen des Punktes \(P\) mit größtem Gefälle und der Steigung

Ableitungen der Profilfunktion: $$\begin{aligned} h'(x) &= 1,731 \cdot 10^{-4}x^2 - 2,54 \cdot 10^{-2}x \\ h''(x) &= 3,462 \cdot 10^{-4}x - 2,54 \cdot 10^{-2} \end{aligned} $$ Notwendige Bedingung für den Wendepunkt \(h''(x) = 0\): $$\begin{aligned} 3,462 \cdot 10^{-4}x - 2,54 \cdot 10^{-2} &= 0 \\ 3,462 \cdot 10^{-4}x &= 0,0254 \\ x_w &\approx 73,37 \end{aligned} $$ Punktkoordinaten (Einsetzen in \(h(x)\)): \(h(73,37) \approx 45,34 \implies P(73,37|45,34)\).

Steigung in Prozent: \(h'(73,37) \approx -0,9317\) Das Gefälle beträgt an dieser Stelle ca. \(93,17\%\).

b) Berechnung der Entfernung von der Grundkante zur Hillsize

  1. Horizontale Entfernung \(x_H\) bestimmen (\(h'(x) = \tan(-32^\circ) \approx -0,6249\)): $$\begin{aligned} -0,6249 &= 1,731 \cdot 10^{-4}x^2 - 0,0254x \\ 0 &= 1,731 \cdot 10^{-4}x^2 - 0,0254x + 0,6249 \\ x_H &\approx 115,48 \end{aligned} $$

  2. Koordinaten des Landepunktes \(H\): \(h(115,48) \approx 10,26 \implies H(115,48|10,26)\).

  3. Direkte Entfernung von der Grundkante \(S(0|90,7)\) zu \(H(115,48|10,26)\): $$\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_H - 0)^2 + (h(x_H) - 90,7)^2} \\ d &= \sqrt{115,48^2 + (10,26 - 90,7)^2} \\ d &\approx 140,73 \end{aligned} $$ Ergebnis: Die direkte Entfernung von der Grundkante beträgt ca. \(140,73\,\text{m}\).

c) Entscheidung und Verfeinerung des Verfahrens

Entscheidung: Die tatsächliche Hillsize entlang des Hangprofils ist größer als die in b) berechnete Entfernung. Die direkte Verbindung (Sehne) ist geometrisch immer der kürzeste Weg; jede Kurve, die von dieser Geraden abweicht, ist länger.

Verfeinerung des Verfahrens: Um sich dem exakten Wert der Kurvenlänge anzunähern, verwendet man eine Summe aus vielen kleinen Sehnenabschnitten:

  1. Unterteilung des Intervalls \([0; 115,48]\) in \(n\) Teilintervalle (z. B. Zentimeter-Schritte).
  2. Berechnung der Teil-Längen \(s_i\) zwischen den Punkten \(P_i\) und \(P_{i+1}\) auf dem Graphen: $$ \begin{aligned} s_i &= \sqrt{(x_{i+1}-x_i)^2 + (h(x_{i+1})-h(x_i))^2} \end{aligned} $$
  3. Die Summe aller \(s_i\) ergibt die Länge des Hangprofils. Je kleiner die Intervalle gewählt werden, desto präziser nähert sich dieses „Sehnenpolygon“ der tatsächlichen Länge der Schanze an.