Kurvenschar I - Lösung
a) Extrempunkt bestimmen
Ableitungen: $$\begin{aligned} f_a'(x) &= 2x + a \\ f_a''(x) &= 2 \end{aligned} $$ Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\): $$\begin{aligned} 2x + a &= 0 \\ 2x &= -a \\ x_E &= -\frac{1}{2}a \end{aligned} $$ Art des Extrempunkts: Da \(f_a''(x) = 2 > 0\) für alle \(x\), handelt es sich immer um einen Tiefpunkt.
\(y\)-Koordinate: $$\begin{aligned} f_a(-\frac{1}{2}a) &= (-\frac{1}{2}a)^2 + a \cdot (-\frac{1}{2}a) + a \\ &= \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}a^2 + a \\ &= -\frac{1}{4}a^2 + a \end{aligned} $$ Ergebnis: \(T(-\frac{1}{2}a \mid -\frac{1}{4}a^2 + a)\).
b) Nachweis des gemeinsamen Punktes \(P(-1|1)\)
Wir setzen \(x = -1\) in die Schargleichung ein: $$\begin{aligned} f_a(-1) &= (-1)^2 + a \cdot (-1) + a \\ &= 1 - a + a \\ &= 1 \end{aligned} $$ Da das Ergebnis \(1\) unabhängig vom Parameter \(a\) ist, liegt der Punkt \(P(-1|1)\) auf jedem Graphen der Schar.
c) Allgemeine Tangentengleichung an \(P\)
- Steigung \(m\) berechnen: $$\begin{aligned} m &= f_a'(-1) = 2 \cdot (-1) + a \\ m &= a - 2 \end{aligned} $$
- \(n\) bestimmen mit \(y = m \cdot x + n\): $$\begin{aligned} 1 &= (a - 2) \cdot (-1) + n \\ 1 &= -a + 2 + n \\ n &= a - 1 \end{aligned} $$ Ergebnis: Die allgemeine Tangentengleichung lautet \(t_a(x) = (a - 2)x + a - 1\).