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Umfassende Funktionsanalyse - Lösung

a) Bestimmen der Nullstellen, Extrempunkte und des Wendepunkts

Nullstellen: $$\begin{aligned} 0 &= \frac{2}{3}x^3 - x^2 + \frac{3}{8}x \\ 0 &= x \cdot \left(\frac{2}{3}x^2 - x + \frac{3}{8}\right) \end{aligned} $$ \(x_{N1} = 0\). Für den Klammerausdruck (Multiplikation mit \(\frac{3}{2}\)): $$\begin{aligned} 0 &= x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} \\ x_{2,3} &= \frac{3}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}} \\ x_{N2} &= \frac{3}{4} \end{aligned} $$ Nullstellen bei \(x_{N1}=0\) und \(x_{N2}=\frac{3}{4}\).

Extrempunkte:
Ableitungen: \(f'(x) = 2x^2 - 2x + \frac{3}{8}\) und \(f''(x) = 4x - 2\). Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\): $$ \begin{aligned} 0 &= 2x^2 - 2x + \frac{3}{8} \quad | :2 \\ 0 &= x^2 - x + \frac{3}{16} \\ x_{1,2} &= \frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{16}} \\ x_{1,2} &= \frac{1}{2} \pm \frac{1}{4} \\ x_1 &= \frac{3}{4}; \quad x_2 = \frac{1}{4} \end{aligned} $$ Prüfung mit \(f''(x)\):

  • \(f''(\frac{3}{4}) = 4 \cdot \frac{3}{4} - 2 = 1 > 0 \implies\) Tiefpunkt/Minimum (T)
  • \(f''(\frac{1}{4}) = 4 \cdot \frac{1}{4} - 2 = -1 < 0 \implies\) Hochpunkt/Maximum (H)

Y-Werte:
\(f(\frac{3}{4}) = 0\)
\(f(\frac{1}{4}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{64} - \frac{1}{16} + \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24}\).
Ergebnis: \(T(\frac{3}{4}|0)\) und \(H(\frac{1}{4}|\frac{1}{24})\).

Wendepunkt: $$\begin{aligned} 0 &= 4x - 2 \\ x_w &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$ Da \(f''(x)\) eine lineare Funktion ist, existiert genau eine Nullstelle.
Mit \(f'''(x) = 4 > 0\) existiert genau Rechts-Links-Wendepunkt (W).
\(f(\frac{1}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{48}\).
Ergebnis: \(W(\frac{1}{2}|\frac{1}{48})\).

b) Gezeichneter Graph

Ein Skizzieren genügt. Gezeichneter Graph

Graph der Funktion \(f\) (schwarz).

c) Tangentengleichung \(t(x)=m\cdot x +n\) und Flächeninhalt

Punkt \(P(\frac{1}{2} | \frac{1}{48})\):
Steigung: \(m = f'(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}) + \frac{3}{8} = -\frac{1}{8}\). $$\begin{aligned} \frac{1}{48} &= -\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} + n \\ n &= \frac{1}{12} \end{aligned} $$ Tangente: \(t(x) = -\frac{1}{8}x + \frac{1}{12}\).

Flächeninhalt: \(y\)-Achsenabschnitt \(n = \frac{1}{12}\). Nullstelle der Tangente: \(0 = -\frac{1}{8}x + \frac{1}{12} \implies \frac{1}{8}x = \frac{1}{12} \implies x_0 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). $$\begin{aligned} A &= \frac{1}{2} \cdot |x_0| \cdot |n| \\ A &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{36} \text{ FE} \end{aligned} $$

d) Abszissen der parallelen Tangenten

Steigung der Geraden \(g\) durch \(A(0|1)\) und \(B(4|\frac{5}{2})\): $$\begin{aligned} m_g &= \frac{\frac{5}{2} - 1}{4 - 0} \\ m_g &= \frac{\frac{3}{2}}{4} = \frac{3}{8} \end{aligned} $$ Gleichsetzen mit \(f'(x)\): $$\begin{aligned} 2x^2 - 2x + \frac{3}{8} &= \frac{3}{8} \\ 2x^2 - 2x &= 0 \\ 2x(x - 1) &= 0 \end{aligned} $$ Ergebnis: Die Abszissen der Berührpunkte sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\).