Gebrochen-rationale Funktion I - Lösung

a) Definitionsbereich

Der Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion darf nicht Null werden. $$\begin{aligned} x^2 + 1 &= 0 \\ x^2 &= -1 \end{aligned} $$ Diese Gleichung hat im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung, da ein Quadrat niemals negativ sein kann ($x^2 \geq 0$). Ergebnis: $D_f = \mathbb{R}$.

b) Symmetrieuntersuchung

Wir prüfen $f(-x)$: $$\begin{aligned} f(-x) &= \frac{-x}{(-x)^2 + 1} \\ f(-x) &= \frac{-x}{x^2 + 1} \\ f(-x) &= -f(x) \end{aligned} $$ Ergebnis: Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

c) Extrempunkte bestimmen

Ableitung mit der Quotientenregel: $u = x \implies u' = 1$ $v = x^2 + 1 \implies v' = 2x$ $$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} \\ f'(x) &= \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \\ f'(x) &= \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned} $$ Notwendige Bedingung $f'(x) = 0$: $$\begin{aligned} 1 - x^2 &= 0 \\ x^2 &= 1 \\ x_1 &= 1; \quad x_2 = -1 \end{aligned} $$

Hinreichende Bedingung & Art:

$f''(1) = \frac{2 - 6}{(1+1)^3} = \frac{-4}{8} = -0,5 < 0 \implies$ Hochpunkt (H)
$f''(-1) = \frac{-2 + 6}{(1+1)^3} = \frac{4}{8} = 0,5 > 0 \implies$ Tiefpunkt (T)

Y-Werte (Einsetzen in $f(x)$):

$f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$
$f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2}$

Aufgrund der Symmetrie und des Verlaufs (für sehr große $x$ nähert sich die Funktion der Null an) folgt: Ergebnis: $H(1 | \frac{1}{2})$ und $T(-1 | -\frac{1}{2})$.