Extremale Fläche - Lösung

1. Vorbereitung

\(f(x) = x(x - a)(x - 2) = x(x^2 - 2x - ax + 2a) = x^3 - (a+2)x^2 + 2ax\)

Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+2}{3}x^3 + ax^2\)

2. Aufstellen der Flächenfunktion \(A(a)\)

\(A(a) = [F(x)]_0^a - [F(x)]_a^2 = (F(a) - F(0)) - (F(2) - F(a)) = 2F(a) - F(2)\)

Einsetzen der Werte:

• \(F(a) = \frac{1}{4}a^4 - \frac{a+2}{3}a^3 + a^3 = -\frac{1}{12}a^4 + \frac{1}{3}a^3\)
• \(F(2) = \frac{1}{4}(16) - \frac{a+2}{3}(8) + 4a = \frac{4}{3}a - \frac{4}{3}\)

\(A(a) = 2(-\frac{1}{12}a^4 + \frac{1}{3}a^3) - (\frac{4}{3}a - \frac{4}{3}) = -\frac{1}{6}a^4 + \frac{2}{3}a^3 - \frac{4}{3}a + \frac{4}{3}\)

3. Ableiten und Nullsetzen

\(A'(a) = -\frac{4}{6}a^3 + 2a^2 - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}a^3 + 2a^2 - \frac{4}{3}\)

Setze \(A'(a) = 0\): \(-\frac{2}{3}a^3 + 2a^2 - \frac{4}{3} = 0 \quad | \cdot (-\frac{3}{2})\) \(a^3 - 3a^2 + 2 = 0\)

Durch Probieren/CAS finden wir die Nullstelle \(a = 1\) (denn \(1-3+2 = 0\)). (Weitere Nullstellen liegen außerhalb des Intervalls \(0 \leq a < 2\).)

Nachweis mittels 2. Ableitung. \(A''(a) = -3a^2 + 4a\) \(A''(1) = 1>0\) also Minimum

4. Minimaler Flächeninhalt

Setze \(a = 1\) in \(A(a)\) ein:
\(A(1) = -\frac{1}{6}(1)^4 + \frac{2}{3}(1)^3 - \frac{4}{3}(1) + \frac{4}{3}=0,5\)

Ergebnis: Der Flächeninhalt wird für \(a = 1\) minimal. Der minimale Flächeninhalt beträgt \(0,5\,\rm FE\).