Flächenberechnung oHiMi II - Tipp

Hier sind Hilfestellungen, um die Aufgabe strukturiert anzugehen:

Fläche unter einem Graphen: Erinnere dich an die Grundformel für die Fläche zwischen Graph und x-Achse: $A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$.
Grenzen: Die Grenzen sind im Text direkt gegeben ($0 \leq x \leq 2$).
Potenzregel: Achte beim Integrieren von $-x^3$ und $3x^2$ auf die Vorzeichen und die neuen Nenner.

Geradengleichung aufstellen: Die Gerade $g$ verläuft durch $S(0|y_s)$ und $H(2|4)$. Nutze die allgemeine Form $g(x) = mx + b$. Hierbei ist $b$ direkt dein gesuchtes $y_s$.
Flächenansatz: Die Fläche zwischen $f$, der y-Achse und der Geraden $g$ im Intervall $[0;2]$ lässt sich als Differenzintegral schreiben: $$A = \int_{0}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx \quad \text{oder} \quad A = \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx$$
Geometrischer Trick: Da du aus Aufg. a) weißt, dass $\int_0^2 f(x) dx = 4$ ist, kannst du die Fläche auch als Differenz zwischen der Fläche unter der Geraden (ein Trapez!) und der Fläche unter der Kurve betrachten (oder umgekehrt, je nachdem wie die Gerade liegt).
Gleichung lösen: Setze den Flächeninhalt gleich $4$ und löse nach der Unbekannten $y_s$ auf.