Rechteck unter Parabel - Tipp

1. Die Symmetrie nutzen

Da das Rechteck symmetrisch zur y-Achse liegt, erstreckt es sich von $-x$ bis $+x$.

Die gesamte Breite des Rechtecks ist also $b = 2x$.
Die Höhe des Rechtecks entspricht dem Funktionswert an der Stelle $x$, also $h = f(x) = 6 - x^2$.

2. Zielfunktionen aufstellen

Umfang $U$: $$ \begin{aligned} U(x) &= 2 \cdot \text{Breite} + 2 \cdot \text{Höhe} \\ &= 2(2x) + 2(6 - x^2) \\ &= 4x + 12 - 2x^2 \\ &= -2x^2 + 4x + 12 \end{aligned} $$
Fläche $A$: $$ \begin{aligned} A(x) &= \text{Breite} \cdot \text{Höhe} \\ &= (2x) \cdot (6 - x^2) \\ &= 12x - 2x^3 \end{aligned} $$

3. Definitionsbereich

Da das Rechteck unter der Parabel und über der x-Achse liegen muss, ist der relevante Bereich für $x$ zwischen der y-Achse ($0$) und der positiven Nullstelle von $f(x)$. $$ 6 - x^2 = 0 \implies x = \sqrt{6} \approx 2,45 $$ Dein Intervall ist also $x \in [0; \sqrt{6}]$.