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Gebrochen-rationale Funktion II - Lösung

a) Asymptoten und Definitionsbereich

  • Definitionsbereich: \(5x - 5 = 0 \implies x = 1\). Also \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
  • Vertikale Asymptote: Da \(x=1\) eine Nullstelle des Nenners, aber nicht des Zählers ist, ist \(x = 1\) eine Polstelle.
  • Schräge Asymptote (Polynomdivision): \((x^2 + 2x + 3) : (5x - 5) = 0,2x + 0,6 + \text{Rest}\)
    Ausführen der Polynomdivision $$ \begin{aligned} &(x^2 + 2x + 3) : (5x - 5) = 0,2x +0,6 +\frac{6}{5x-5}\\ -&(x^2 - x) \quad \quad \quad \\ &\overline{\quad \quad \quad 3x + 3} \quad \\ & \quad \quad -( 3x - 3) \quad \\ &\quad \quad \quad \overline{\quad \quad \quad 6} \end{aligned} $$

Somit ist \(y = 0,2x + 0,6\) die schräge Asymptote.

b) Extrempunkte

1. Ableitung: \(u = x^2 + 2x + 3 \implies u' = 2x + 2\) \(v = 5x - 5 \implies v' = 5\) $$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{(2x+2)(5x-5) - (x^2+2x+3) \cdot 5}{(5x-5)^2} \\ f'(x) &= \frac{10x^2 - 10x + 10x - 10 - 5x^2 - 10x - 15}{(5x-5)^2}\\ f'(x) &= \frac{5x^2 - 10x - 25}{(5x-5)^2} \end{aligned} $$

Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\): \(x^2 - 2x - 5 = 0 \implies x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (-5)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}\) \(x_1 = 1 + \sqrt{6}; \quad x_2 = 1 - \sqrt{6}\)

2. Ableitung (Nachweis): An den Stellen \(x_{1,2}\) gilt für den Zähler \(u\) von \(f'\) der Wert Null. Die Ableitung des Zählers ist \(u'(x) = 2x - 2\).

  • \(f''(1+\sqrt{6}) = \frac{2\sqrt{6} \cdot 30}{pos.} > 0 \implies \mathbf{Tiefpunkt}\)
  • \(f''(1-\sqrt{6}) = \frac{-2\sqrt{6} \cdot 30}{pos.} < 0 \implies \mathbf{Hochpunkt}\)

Y-Koordinaten (Exakt): Wir nutzen \(f(x) = 0,2x + 0,6 + \frac{6}{5x-5}\):

  • \(f(1+\sqrt{6}) = 0,8 + 0,4\sqrt{6} \approx 1,7798\)$
  • \(f(1-\sqrt{6}) = 0,8 - 0,4\sqrt{6} \approx -0,1798\)

Ergebnis: \(T(1+\sqrt{6} \mid 0,8+0,4\sqrt{6})\) und \(H(1-\sqrt{6} \mid 0,8-0,4\sqrt{6})\).

c) Schnittwinkel mit der y-Achse

  1. Schnittpunkt: \(f(0) = \frac{3}{-5} = -0,6 \implies S_y(0 | -0,6)\).
  2. Steigung bei \(x=0\): \(f'(0) = \frac{5(0)^2 - 10(0) - 25}{(5 \cdot 0 - 5)^2} = -1\).
  3. Winkel: \(\tan(\alpha) = -1 \implies \alpha = -45^\circ\).
    Der Graph schneidet die x-Achse im \(45^\circ\)-Winkel.
    Winkel zur y-Achse: \(\beta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).