Stammfunktion mit Eigenschaft - Lösung
Hier sind die Berechnungen für die spezifischen Stammfunktionen:
a) \(f_1(x) = x^2 - 1\) durch \(P(0|1)\)
- Allgemeine Stammfunktion: \(F_C(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + C\)
- Berechnung von \(C\):
\[\begin{align*}
F_C(0) &= 1 \\
\frac{1}{3}(0)^3 - 0 + C &= 1 \\
C &= 1
\end{align*}\]
Ergebnis: \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 1\)
b) \(f_2(x) = \sqrt{x}\) mit Nullstelle bei \(x=1\)
- Umformung: \(f_2(x) = x^{0,5}\)
- Allgemeine Stammfunktion: \(F_C(x) = \frac{2}{3}x^{1,5} + C = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C\)
- Berechnung von \(C\):
\[\begin{align*}
F_C(1) &= 0 \\
\frac{2}{3}(1)^{1,5} + C &= 0 \\
\frac{2}{3} + C &= 0 \\
C &= -\frac{2}{3}
\end{align*}\]
Ergebnis: \(F(x) = \frac{2}{3}x^{1,5} - \frac{2}{3}\)
c) \(f_3(x) = 2x + 2\) mit genau einer Nullstelle
- Allgemeine Stammfunktion: \(F_C(x) = x^2 + 2x + C\)
- Bedingung: Eine quadratische Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn ihr Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt (Diskriminante der p-q-Formel ist 0).
- Berechnung von \(C\):
\[\begin{align*}
x^2 + 2x + C &= 0 \\
x_{1,2} &= -1 \pm \sqrt{1^2 - C} \\
\text{Bedingung: } 1 - C &= 0 \\
C &= 1
\end{align*}\]
Ergebnis: \(F(x) = x^2 + 2x + 1\) (entspricht \((x+1)^2\))
d) \(f_4(x) = \sin(x)\) durch den Ursprung \(O(0|0)\)
- Allgemeine Stammfunktion: \(F_C(x) = -\cos(x) + C\)
- Berechnung von \(C\):
\[\begin{align*}
F_C(0) &= 0 \\
-\cos(0) + C &= 0 \\
-1 + C &= 0 \\
C &= 1
\end{align*}\]
Ergebnis: \(F(x) = -\cos(x) + 1\)