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Pythagoras-Prickler - Tipp

Aufgabe a) Die Stiellänge berechnen

Um zu zeigen, dass der Stiel etwa \(10\text{ cm}\) lang ist, musst du die Tiefe des Kegels berechnen.

  1. Volumen-Formel: Nutze die Formel für das Volumen eines Kegels: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).
  2. Radius bestimmen: Der maximale Durchmesser beträgt \(11,4\text{ cm}\). Wie groß ist der Radius \(r\)?
  3. Kegelhöhe isolieren: Stelle die Formel nach \(h\) um und setze \(V = 270\text{ cm}^3\) sowie deinen Radius ein.
  4. Differenz: Ziehe die berechnete Kegelhöhe von der Gesamthöhe (\(18\text{ cm}\)) ab.

Aufgabe b) Vorhandene Flüssigkeitsmenge

Beachte für beide Optionen: \(5\text{ cl} = 50\text{ ml} = 50\text{ cm}^3\).

Option 1: Integralrechnung (Rotationsvolumen) * Funktion aufstellen: Modelliere die Glaswand als Ursprungsgerade \(f(x) = m \cdot x\). Die Steigung \(m\) ist das Verhältnis von Radius zu Kegelhöhe (\(m = \frac{r}{h_k}\)). * Ansatz: Die Differenz der Volumina zwischen der unbekannten alten Höhe \(h_1\) und der neuen Höhe \(h_1 + 1\) muss exakt \(50\text{ cm}^3\) ergeben: $\(\pi \cdot \int_{0}^{h_1 + 1} (m \cdot x)^2 \, dx - \pi \cdot \int_{0}^{h_1} (m \cdot x)^2 \, dx = 50\)$

Option 2: Ähnlichkeit (Strahlensatz) * Volumenverhältnis: Es gilt der Zusammenhang \(V(h) = c \cdot h^3\). * Konstante bestimmen: Berechne \(c\) mit den Werten aus Teil a), indem du \(c = \frac{V_{max}}{h_k^3}\) rechnest. * Gleichung: Löse die Gleichung \(c \cdot (h_1 + 1)^3 - c \cdot h_1^3 = 50\) nach \(h_1\) auf.