Wasserfontäne - Lösung

Option 1: Allgemeiner Ansatz

Zuerst definieren wir die allgemeine Funktion und ihre Ableitung: $$ \begin{aligned} f(x) &= ax^2 + bx + c \\ f'(x) &= 2ax + b \end{aligned} $$

Aus dem Sachkontext entnehmen wir folgende Bedingungen (mit der unbekannten Scheitelstelle $x_s$):

$f(0) = 0,25$
$f(0,5) = 0$
$f(x_s) = 0,45$
$f'(x_s) = 0$

Man gibt das Gleichungssystem direkt in das CAS ein:

Ergebnis: $a = -5; b = 2; c = 0,25; x_s = 0,2$

Option 2: Ansatz über die Scheitelpunktform

Hier nutzt man die Scheitelpunktform $f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s$. Da die maximale Höhe $y_s = 0,45$ bekannt ist, reduziert sich der Ansatz auf: $$ \begin{aligned} f(x) = a(x - x_s)^2 + 0,45 \end{aligned} $$

Nun müssen nur noch die zwei bekannten Punkte eingesetzt werden, um ein System für $a$ und $x_s$ zu erhalten:

$f(0) = 0,25 \implies 0,25 = a(0 - x_s)^2 + 0,45$
$f(0,5) = 0 \implies 0 = a(0,5 - x_s)^2 + 0,45$

Ergebnis: $a = -5; x_s = 0,2$

Ergebnis

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet: $$ \begin{aligned} f(x) = -5x^2 + 2x + 0,25 \quad \text{ oder }\quad f(x) = -5(x - 0,2)^2 + 0,45 \end{aligned} $$