Ableitungsfunktion - Lösung

a) Aufstellen des Differenzenquotienten

Gegeben ist \(f(x) = -2x^2 + x\).

Der Differenzenquotient an der Stelle \(x_0\) lautet: $$ \begin{aligned} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} &= \frac{-2(x_0 + h)^2 + (x_0 + h) - (-2x_0^2 + x_0)}{h} \end{aligned} $$

b) Berechnung der Ableitungsfunktion mit dem Grenzwert

Alternative 1: h-Methode

Zuerst vereinfachen wir den Zähler (Anwendung der ersten binomischen Formel und Auflösen der Klammern): $$ \begin{aligned} \frac{-2(x_0^2 + 2x_0h + h^2) + x_0 + h + 2x_0^2 - x_0}{h} &= \frac{-2x_0^2 - 4x_0h - 2h^2 + x_0 + h + 2x_0^2 - x_0}{h} \\ &= \frac{-4x_0h - 2h^2 + h}{h} \end{aligned} $$

Nun bilden wir den Grenzwert für \(h \to 0\): $$ \begin{aligned} f'(x_0) &= \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot (-4x_0 - 2h + 1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (-4x_0 - 2h + 1) \\ &= -4x_0 + 1 \end{aligned} $$

Alternative 2: \(x \to x_0\)-Methode

Hierbei betrachten wir den Grenzwert, während \(x\) gegen die feste Stelle \(x_0\) läuft: $$ \begin{aligned} f'(x_0) &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{(-2x^2 + x) - (-2x_0^2 + x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{-2x^2 + x + 2x_0^2 - x_0}{x - x_0} \end{aligned} $$

Wir sortieren den Zähler um, um den Faktor \((x - x_0)\) durch Ausklammern oder Anwendung des 3. Binoms sichtbar zu machen: $$ \begin{aligned} f'(x_0) &= \lim_{x \to x_0} \frac{-2(x^2 - x_0^2) + (x - x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{-2(x - x_0)(x + x_0) + 1(x - x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0) \cdot [-2(x + x_0) + 1]}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} (-2x - 2x_0 + 1) \\ &= -2x_0 - 2x_0 + 1 \\ &= -4x_0 + 1 \end{aligned} $$

Die Ableitungsfunktion lautet somit \(f'(x_0) = -4x_0 + 1\)
oder als "typische Funktion" \(f'(x) = -4x + 1\)