Zylinder in der Kugel - Tipp

1. Skizze und Schnittfigur

Stelle dir einen vertikalen Schnitt durch die Mitte der Kugel vor. Du siehst einen Kreis (Kugel) und darin ein Rechteck (Zylinder).

• Die Diagonale des Rechtecks entspricht dem Durchmesser der Kugel \((2R = 20\,\rm cm)\).

2. Nebenbedingung (Pythagoras)

Betrachte das rechtwinklige Dreieck, das aus der halben Zylinderhöhe \(\left(\frac{h}{2}\right)\), dem Zylinderradius \((r)\) und dem Kugelradius \((R)\) gebildet wird: $$ r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2 $$ Stelle diese Gleichung nach \(r^2\) um, da \(r^2\) direkt in der Volumenformel vorkommt.

3. Zielfunktion

Das Volumen eines Zylinders berechnet sich durch: $$ V = \pi \cdot r^2 \cdot h $$ Ersetze \(r^2\) durch den Ausdruck aus der Nebenbedingung, um \(V(h)\) zu erhalten.

4. Extremwert finden

• Leite \(V(h)\) nach \(h\) ab.
• Setze \(V'(h) = 0\).
• Überprüfe dein Ergebnis mit der zweiten Ableitung \(V''(h)\).