Flächenberechnung oHiMi - Lösung

Teilaufgabe a) Nachweis der Tangente

Gegeben: \(f(x) = -x^2 + 4\), \(g(x) = -4x + 8\), Punkt \(P(2|0)\).

1. Punktprobe:

   • \(f(2) = -(2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0\) ✔️
   • \(g(2) = -4(2) + 8 = -8 + 8 = 0\) ✔️
     Der Punkt \(P(2|0)\) liegt auf beiden Graphen.

2. Steigungsvergleich:

   • Ableitung bilden: \(f'(x) = -2x\)
   • Steigung an der Stelle \(x = 2\): \(f'(2) = -2 \cdot 2 = -4\)
   • Die Steigung der Geraden \(g(x) = -4x + 8\) ist ebenfalls \(m = -4\).
   • Da Punkt und Steigung übereinstimmen, ist \(g\) die Tangente an \(f\) in \(P\).

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Teilaufgabe b) Flächeninhalt

Die Fläche wird begrenzt durch \(x = 0\) (\(y\)-Achse) und \(x = 2\) (Berührpunkt). Im Intervall \([0; 2]\) liegt die Gerade \(g\) über der Parabel \(f\).

1. Differenzfunktion aufstellen:

   \(h(x) = g(x) - f(x) = (-4x + 8) - (-x^2 + 4)\)

   \(h(x) = x^2 - 4x + 4\)

2. Integral berechnen:

   \[\begin{align*} A &= \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \, dx\\ &= \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2}\\ &= \left( \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 \right) - (0)\\ &= \frac{8}{3} - 8 + 8\\ &= \frac{8}{3} \approx 2,67 \end{align*}\]

Ergebnis: Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3}\) Flächeneinheiten.