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Funktionsgleichung bestimmen - Lösung

a) \(f(x) = x^3 + ax\) durch \(P(2|4)\)

\[\begin{align*} 4 &= 2^3 + a \cdot 2 \\ 4 &= 8 + 2a \\ -4 &= 2a \implies \mathbf{a = -2} \end{align*}\]

Ergebnis: \(f(x) = x^3 - 2x\)

b) \(f(x) = ax^4 + bx\) durch \(P(1|4)\) und \(Q(-1|0)\)

I. \(4 = a(1)^4 + b(1) \implies a + b = 4\)
II. \(0 = a(-1)^4 + b(-1) \implies a - b = 0 \implies a = b\)

Einsetzen von II in I: \(a + a = 4 \implies 2a = 4 \implies \mathbf{a = 2, b = 2}\)

Ergebnis: \(f(x) = 2x^4 + 2x\)

c) \(f(x) = \frac{1}{x+a} - b\) durch \(P(-0,5|0), Q(1|-1,5)\)

Die Ansätze:

  • \(f(-0,5)=0\)
  • \(f(1)=-1,5\)

liefern zwei Lösungen:

  • \(\mathbf{a = 1}\) und \(\mathbf{b = 2}\) und somit \(f(x) = \frac{1}{x+1} - 2\)
  • \(\mathbf{a = -1,5}\) und \(\mathbf{b = -0,5}\) und somit \(f(x) = \frac{1}{x-1,5} + 0,5\)

d) \(f(x) = a\sqrt{x-b} + c\) durch \(P(1|2), Q(2|4), R(10|8)\)

Die Ansätze:

  • \(f(1)=2\)
  • \(f(2)=4\)
  • \(f(10)=8\)

liefern die Lösung \(\mathbf{a = 2, b = 1, c = 2}\) und somit \(f(x) = 2\sqrt{x-1} + 2\).