Straßenrekonstruktion - Lösung

a) Analyse der Bedingungen

1. Steigung der alten Straße: Die Bundesstraße ist eine Gerade durch $A(0|4)$ und $B(4|0)$. $$ \begin{aligned} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ m &= \frac{0 - 4}{4 - 0} = -1 \end{aligned} $$ Damit die Mündung "knickfrei" ist, muss die Umgehungsstraße in $A$ und $B$ ebenfalls die Steigung $f'(x) = -1$ besitzen.

2. Aufstellen der mathematischen Bedingungen: Wir haben folgende 5 Anforderungen:

$f(0) = 4$ (Punkt $A$)
$f'(0) = -1$ (Knickfrei in $A$)
$f(4) = 0$ (Punkt $B$)
$f'(4) = -1$ (Knickfrei in $B$)
$f(2) = 1$ (Punkt $C$)

3. Ermittlung des Mindestgrades: Da wir 5 Bedingungen haben, benötigen wir eine Funktion mit 5 Parametern ($a, b, c, d, e$). Dies entspricht einer ganzrationalen Funktion 4. Grades. Ansatz: $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

b) Bestimmung der Funktionsgleichung

Aufstellen des Gleichungssystems: Unter Verwendung der Ableitung $f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d$ ergeben sich: $$ \begin{aligned} &\text{I. } & f(0) = 4 &\implies e = 4 \\ &\text{II. } & f'(0) = -1 &\implies d = -1 \\ &\text{III. } & f(4) = 0 &\implies a(4)^4 + b(4)^3 + c(4)^2 + (-1)(4) + 4 = 0 \\ &\text{IV. } & f'(4) = -1 &\implies 4a(4)^3 + 3b(4)^2 + 2c(4) + (-1) = -1 \\ &\text{V. } & f(2) = 1 &\implies a(2)^4 + b(2)^3 + c(2)^2 + (-1)(2) + 4 = 1 &\end{aligned} $$

Vereinfachtes System: $$ \begin{aligned} 256a + 64b + 16c &= 0 \\ 256a + 48b + 8c &= 0 \\ 16a + 8b + 4c &= -1 \end{aligned} $$

Lösung via CAS: Durch Lösen des Systems erhält man: $$ \begin{aligned} a &= -\frac{1}{16} = -0,0625 \\ b &= \frac{1}{2} = 0,5 \\ c &= -1 \\ d &= -1 \\ e &= 4 \end{aligned} $$

Ergebnis: Die Funktionsgleichung der Umgehungsstraße lautet: $$ \begin{aligned} f(x) = -0,0625x^4 + 0,5x^3 - x^2 - x + 4 \end{aligned} $$