Zahlenrätsel - Lösung

Aufgabe a)

1. Definitionen: Summanden \(x\) und \(y\). Nebenbedingung: \(x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - x\).
2. Zielfunktion: $$ P(x) = x \cdot (60 - x) = 60x - x^2 $$
3. Optimierung: $$ P'(x) = 60 - 2x $$ Setze \(P'(x) = 0\): $$ 60 - 2x = 0 \Rightarrow x = 30 $$
4. Ergebnis: Der zweite Summand ist \(y = 60 - 30 = 30\). Die Zahl 60 muss in 30 und 30 zerlegt werden. Das maximale Produkt beträgt 900.

Aufgabe b)

1. Definitionen: Summanden \(x\) und \(y\). Nebenbedingung: \(x = 12 - y\).
2. Zielfunktion: $$ S(y) = (12 - y) + \frac{9}{y} = 12 - y + 9y^{-1} $$
3. Ableitung und Untersuchung: $$ S'(y) = -1 - 9y^{-2} = -1 - \frac{9}{y^2} $$ Setzt man \(S'(y) = 0\), erhält man: $$ -1 = \frac{9}{y^2} \Rightarrow y^2 = -9 $$ Dies hat keine reelle Lösung.
4. Interpretation und Randwerte: Da die Ableitung \(S'(y)\) für alle positiven \(y\) immer negativ ist (\(S'(y) < 0\)), fällt der Wert der Summe im gesamten Verlauf stetig ab. Das bedeutet, die Summe wird umso kleiner, je größer \(y\) gewählt wird. Da \(x\) positiv sein muss (\(x > 0\)), kann \(y\) maximal gegen 12 gehen.
   Ergebnis: Ein lokales Minimum im Inneren existiert nicht; der Wert minimiert sich am Rand des Definitionsbereichs (\(y \to 12, x \to 0\)).