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Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen - Lösung

Teilaufgabe a) Flächeninhalt

  1. Schnittpunkte: \(\frac{1}{2}x^2 = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{3}{2} \implies \frac{3}{4}x^2 - \frac{3}{4}x - \frac{3}{2} = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0\). Schnittstellen: \(x_1 = -1, x_2 = 2\).
  2. Differenzfunktion: \(h(x) = g(x) - f(x) = -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}\).
  3. Integral:
\[\begin{align*} A &= \int_{-1}^{2} (-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}) \, dx\\ &= [-\frac{1}{4}x^3 + \frac{3}{8}x^2 + \frac{3}{2}x]_{-1}^{2}\\ &= (-2 + 1,5 + 3) - (0,25 + 0,375 - 1,5)\\ &= 2,5 - (-0,875) = 3,375 = \frac{27}{8} FE. \end{align*}\]

Teilaufgabe b) Teilungsverhältnis

Aus den Schnittpunkten von \(f\) und \(g\), nämlich \(P_1(-1 | 0,5)\) und \(P_2(2 | 2)\) lässt sich die Steigung der Geraden bestimmen

\[m = \frac{2 - 0,5}{2 - (-1)} = \frac{1,5}{3} = 0,5.\]

Mithilfe der Punktanstiegsform ergibt sich die Geradengleichung:

\[s(x) = 0,5x + 1.\]

Die Fläche zwischen der Parabel \(g\) und über der Geraden \(s\) ist

\[A_{oben} = \int_{-1}^{2} (g(x) - s(x)) \, dx.\]

Da beide Funktionen (Parabel \(g\) und Gerade \(s\)) die gleichen Schnittpunkte haben, entsteht hier ein Segment. Rechnung: \(A_{oben} = \dots = 1,125\) FE.
Die Restfläche: ist:

\[A_{unten} = 3,375 - 1,125 = 2,25 FE.\]

Daher ist das Teilungsverhältnis:

\[\frac{A_{oben}}{A_{unten}} = \frac{1,125}{2,25} = 1 : 2.\]

Teilaufgabe c) Ursprungsgerade (CAS)

Eine Ursprungsgerade kann durch die Funktiono \(u\) mit \(u(x) = m \cdot x\) beschrieben werden.

  • Schnittpunkt mit \(f\): \(u(x) = f(x) \rightarrow\) relevanter Schnittpunkt \(S(0|0)\)
  • Schnittpunkt mit \(g\): \(u(x) = g(x) \rightarrow\)
\[x_{\pm} = -2m + \frac{3 \pm \sqrt{16m^2 - 24m + 33}}{2}\]

Anhand einer Skizze macht man sich klar, dass die Stelle mit dem größeren x-Wert relevant für die Aufgabe ist. \(\rightarrow x_+\)

Weiterhin muss \(u\) monoton wachsend sein. Zur Absicherung kann man sich vergewissern, dass bei Teilung der Fläche mit der Geraden \(x = 0\), die Teilfläche auf der positiven x-Achse größer ist.

Ansatz:

\[\frac{A}{2} = \int_{-1}^{0} (g(x) - f(x)) \, dx + \int_{0}^{x_+} (g(x) - u(x)) \, dx\]

liefert: \(m = 1,959\)

Teilaufgabe d) Verhundertfachung

Damit die Fläche bei Formbehalt verhundertfacht wird, nutzen wir den Streckfaktor \(k = \sqrt{100} = 10\). Regel: \(f_{neu}(x) = k \cdot f(\frac{x}{k})\).

  1. Für \(f(x)\): \(f_1(x) = 10 \cdot \frac{1}{2}(\frac{x}{10})^2 = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{100} = \frac{1}{20}x^2\).
  2. Für \(g(x)\): \(g_1(x) = 10 \cdot (-\frac{1}{4}(\frac{x}{10})^2 + \frac{3}{4}(\frac{x}{10}) + \frac{3}{2}) = -\frac{1}{40}x^2 + \frac{3}{4}x + 15\).

Ergebnis: Die neuen Funktionen sind \(f_1(x) = 0,05x^2\) und \(g_1(x) = -0,025x^2 + 0,75x + 15\).