Lagebeziehung von Geraden - Lösung

a) Bestimmen der orthogonalen Geraden \(g\)

Die Steigung von \(f\) ist \(m_f = -2\). Für die senkrechte Steigung \(m_g\) gilt: $$ \begin{aligned} m_g &= -\frac{1}{m_f} \\ m_g &= -\frac{1}{-2} = 0,5 \end{aligned} $$ Punkt \(A(2|3)\) in \(g(x) = 0,5x + n\) einsetzen: $$ \begin{aligned} 3 &= 0,5 \cdot 2 + n \\ 3 &= 1 + n \\ n &= 2 \end{aligned} $$ Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 0,5x + 2\).

b) Bestimmen der parallelen Geraden \(h\)

Da \(h \parallel f\), gilt \(m_h = m_f = -2\). Punkt \(A(2|3)\) in \(h(x) = -2x + n\) einsetzen: $$ \begin{aligned} 3 &= -2 \cdot 2 + n \\ 3 &= -4 + n \\ n &= 7 \end{aligned} $$ Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -2x + 7\).

c) Berechnung des Abstands von \(f\) und \(h\)

Zuerst berechnen wir den Schnittpunkt \(S\) von \(f(x)\) und \(g(x)\): $$ \begin{aligned} -2x - 1 &= 0,5x + 2 \\ -2,5x &= 3 \\ x_S &= -1,2 \end{aligned} $$ \(y\)-Wert berechnen: \(f(-1,2) = -2(-1,2) - 1 = 1,4\). Also \(S(-1,2|1,4)\). Abstand \(d\) zwischen \(A(2|3)\) und \(S(-1,2|1,4)\): $$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(2 - (-1,2))^2 + (3 - 1,4)^2} \\ d &= \sqrt{3,2^2 + 1,6^2} \\ d &= \sqrt{10,24 + 2,56} \\ d &= \sqrt{12,8} \approx 3,58 \end{aligned} $$ Der Abstand der Geraden beträgt ca. \(3,58\) Längeneinheiten.