Extremwerte - Lösung
a) Bestimmen der Extrempunkte von \(f(x) = x^2 - 5x + 7\)
Zuerst bilden wir die Ableitungen:
$$\begin{aligned}
f'(x) &= 2x - 5 \\
f''(x) &= 2
\end{aligned}
$$
Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\):
$$\begin{aligned}
2x - 5 &= 0 \\
2x &= 5 \\
x &= 2,5
\end{aligned}
$$
Hinreichende Bedingung prüfen:
\(f''(2,5) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt/Minimum (T)
\(y\)-Koordinate berechnen: \(f(2,5) = 2,5^2 - 5 \cdot 2,5 + 7 = 0,75\).
Ergebnis: \(T(2,5|0,75)\)
b) Bestimmen der Extrempunkte von \(f(x) = x \cdot (\sqrt{x} - 3)\)
Funktion umformen: \(f(x) = x^{1,5} - 3x\).
Ableitungen bilden:
$$\begin{aligned}
f'(x) &= 1,5x^{0,5} - 3 \\
f''(x) &= 0,75x^{-0,5}
\end{aligned}
$$
Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\):
$$\begin{aligned}
1,5\sqrt{x} - 3 &= 0 \\
1,5\sqrt{x} &= 3 \\
\sqrt{x} &= 2 \\
x &= 4
\end{aligned}
$$
Hinreichende Bedingung prüfen:
\(f''(4) = 0,75 \cdot 4^{-0,5} = 0,375 > 0 \implies\) Tiefpunkt/Minimum (T)
\(y\)-Koordinate berechnen: \(f(4) = 4 \cdot (\sqrt{4} - 3) = 4 \cdot (-1) = -4\).
Ergebnis: \(T(4|-4)\)
c) Bestimmen der Extrempunkte von \(f(x) = x^3 - 12x\)
Ableitungen bilden: $$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ f''(x) &= 6x \end{aligned} $$ Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\): $$\begin{aligned} 3x^2 - 12 &= 0 \\ 3x^2 &= 12 \\ x^2 &= 4 \\ x_1 &= 2, \quad x_2 = -2 \end{aligned} $$ Hinreichende Bedingung prüfen:
- \(f''(2) = 6 \cdot 2 = 12 > 0 \implies\) Tiefpunkt/Minimum (T)
- \(f''(-2) = 6 \cdot (-2) = -12 < 0 \implies\) Hochpunkt/Maximum (H)
\(y\)-Koordinaten berechnen:
- \(f(2) = 2^3 - 12 \cdot 2 = 8 - 24 = -16\)
- \(f(-2) = (-2)^3 - 12 \cdot (-2) = -8 + 24 = 16\)
Ergebnis: \(H(-2|16)\) und \(T(2|-16)\)