Stammfunktion mit Eigenschaft - Tipps
Um eine spezifische Stammfunktion zu finden, die eine bestimmte Bedingung erfüllt, gehst du am besten in zwei Schritten vor:
1. Die allgemeine Stammfunktion finden
Bestimme zuerst die Menge aller Stammfunktionen, indem du die Integrationskonstante \(C\) hinzufügst: $\(F(x) = \int f(x) \, dx + C\)$
2. Die Konstante \(C\) berechnen
Nutze die gegebene Eigenschaft, um eine Gleichung aufzustellen und nach \(C\) aufzulösen:
- Punkt gegeben: Verläuft die Funktion durch \((x_0 | y_0)\), setze \(F(x_0) = y_0\).
- Koordinatenursprung: Dies ist der Punkt \((0 | 0)\). Setze also \(F(0) = 0\).
- Nullstelle bei \(x_n\): Das bedeutet, der Funktionswert an dieser Stelle ist Null. Setze \(F(x_n) = 0\).
- Genau eine Nullstelle: Überlege dir, wie der Graph der Stammfunktion (oft eine Parabel) verschoben sein muss, damit er die x-Achse nur berührt (\(D = 0\) oder Scheitelpunkt auf der x-Achse).
Hilfreiche Grundintegrale:
- \(x^n \to \frac{1}{n+1}x^{n+1}\)
- \(\sqrt{x} = x^{1/2} \to \frac{2}{3}x^{3/2}\)
- \(\sin(x) \to -\cos(x)\)