Kurvenschar II - Lösung

a) Wendepunkt ermitteln

Ableitungen: $$\begin{aligned} f_a'(x) &= x^2 + 2ax + a^2 \\ f_a''(x) &= 2x + 2a \\ f_a'''(x) &= 2 \end{aligned} $$ Notwendige Bedingung \(f_a''(x) = 0\): $$\begin{aligned} 2x + 2a &= 0 \\ x_W &= -a \end{aligned} $$ Nachweis: Da \(f_a'''(-a) = 2 \neq 0\), liegt an der Stelle \(x = -a\) immer ein Wendepunkt vor. \(y\)-Koordinate: $$\begin{aligned} f_a(-a) &= \frac{1}{3}(-a)^3 + a(-a)^2 + a^2(-a) \\ &= -\frac{1}{3}a^3 + a^3 - a^3 \\ &= -\frac{1}{3}a^3 \end{aligned} $$ Ergebnis: \(W(-a \mid -\frac{1}{3}a^3)\).

b) Ortskurve der Wendepunkte

1. \(x = -a \implies a = -x\)
2. Einsetzen in \(y = -\frac{1}{3}a^3\): $$\begin{aligned} y &= -\frac{1}{3}(-x)^3 \\ y &= \frac{1}{3}x^3 \end{aligned} $$ Ergebnis: Alle Wendepunkte liegen auf der Ortskurve \(y = \frac{1}{3}x^3\).

c) Nachweis der Nicht-Existenz von Extrempunkten

Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\): $$\begin{aligned} x^2 + 2ax + a^2 &= 0 \end{aligned} $$ Anwendung der binomischen Formel oder \(p-q\)-Formel: $$\begin{aligned} (x + a)^2 &= 0 \\ x_{1,2} &= -a \end{aligned} $$ Es gibt also für jedes \(a\) nur genau eine potenzielle Extremstelle bei \(x = -a\). Da dies aber gleichzeitig die Stelle des Wendepunkts ist (siehe Aufgabenteil a), handelt es sich hierbei um einen Sattelpunkt (Extremum zweiter Art), nicht um ein lokales Minimum oder Maximum.

Sonderfall \(a=0\):
Für \(a=0\) lautet die Funktion \(f_0(x) = \frac{1}{3}x^3\). Auch hier liegt bei \(x=0\) lediglich ein Sattelpunkt vor. Somit hat die Schar für kein \(a\) klassische Extrempunkte.