Quadratische Funktion - Lösung

a) Bestimmen der Nullstellen und des Scheitelpunkts

Nullstellen berechnen ($f(x) = 0$): $$ \begin{aligned} 0 &= x^2 + 4x \\ 0 &= x \cdot (x + 4) \\ x_1 &= 0 \\ x_2 &= -4 \end{aligned} $$

Scheitelpunkt berechnen (Alternative 1: Symmetrie): Da Parabeln achsensymmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt sind, liegt der $x$-Wert des Scheitelpunkts exakt in der Mitte der Nullstellen: $$ \begin{aligned} x_s &= \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{0 + (-4)}{2} = -2 \\ y_s &= f(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 4 - 8 = -4 \end{aligned} $$

Scheitelpunkt berechnen (Alternative 2: Quadratische Ergänzung): Überführung der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform: $$ \begin{aligned} f(x) &= x^2 + 4x \\ f(x) &= x^2 + 4x + \left(\frac{4}{2}\right)^2 - \left(\frac{4}{2}\right)^2 \\ f(x) &= (x^2 + 4x + 4) - 4 \\ f(x) &= (1 \cdot (x + 2))^2 - 4 \end{aligned} $$ Aus der Scheitelpunktform $f(x) = a(x-x_s)^2 + y_s$ lässt sich der Scheitelpunkt $S(-2|-4)$ direkt ablesen.

b) Angabe des Wertebereichs

Unter Voraussetzung von $D = \mathbb{R}$ und da die Parabel nach oben geöffnet ist, stellt der Scheitelpunkt das absolute Minimum dar. $$ \begin{aligned} W = {y \in \mathbb{R} \mid y \geq -4} \text{ bzw. } W = [-4; \infty) \end{aligned} $$

c) Beschreiben des Monotonieverhaltens

Der Scheitelpunkt bei $x = -2$ trennt die Bereiche unterschiedlicher Monotonie: $$ \begin{aligned} \text{Für } x \in (-\infty; -2]: & \text{ streng monoton fallend} \\ \text{Für } x \in [-2; \infty): & \text{ streng monoton steigend} \end{aligned} $$