Berührungsproblem - Lösung

a) Nachweis des Berührens im Punkt Q

Damit sich die Graphen berühren, müssen Funktionswert und Steigung an der Stelle $x = 0$ übereinstimmen.

1. Prüfung der Funktionswerte: $$ \begin{aligned} f(0) &= \frac{1}{4}(0)^4 - \frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0) + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \\ g(0) &= \frac{1}{5}(0)^5 - \frac{1}{4}(0)^4 + \frac{1}{2}(0) + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \end{aligned} $$ Beide Graphen gehen durch den Punkt $Q(0 | \frac{3}{4})$.

2. Prüfung der Steigungen: Zuerst bilden wir die Ableitungen:

$f'(x) = x^3 - x^2 + \frac{1}{2}$ und $g'(x) = x^4 - x^3 + \frac{1}{2}$

Einsetzen von $x = 0$: $$ \begin{aligned} f'(0) &= 0^3 - 0^2 + \frac{1}{2} = 0,5 \\ g'(0) &= 0^4 - 0^3 + \frac{1}{2} = 0,5 \end{aligned} $$ Da $f'(0) = g'(0)$ gilt, haben beide Graphen an dieser Stelle die gleiche Steigung.

Ergebnis: Da sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen übereinstimmen, berühren sich die Graphen im Punkt $Q$.

b) Gleichung der gemeinsamen Tangente

Die Tangente hat die Steigung $m = 0,5$ und verläuft durch den Punkt $Q(0 | \frac{3}{4})$. Da $Q$ auf der $y$-Achse liegt, entspricht der $y$-Wert direkt dem Achsenabschnitt $c = \frac{3}{4} = 0,75$. $$ \begin{aligned} t(x) &= m \cdot x + c \\ t(x) &= 0,5x + 0,75 \end{aligned} $$

Ergebnis: Die gemeinsame Tangente lautet $t(x) = 0,5x + 0,75$.