Flächenberechnung oHiMi II - Lösung
Teilaufgabe a) Nachweis des Flächeninhalts
Gesucht ist \(A = \int_{0}^{2} (-x^3 + 3x^2) \, dx\).
- Stammfunktion bilden: \(F(x) = [-\frac{1}{4}x^4 + x^3]\)
- Grenzen einsetzen: \(A = \left( -\frac{1}{4} \cdot 2^4 + 2^3 \right) - (0)\) \(A = \left( -\frac{1}{4} \cdot 16 + 8 \right)\) \(A = -4 + 8 = 4\) Ergebnis: Der Flächeninhalt beträgt exakt 4 FE. ✔️
Teilaufgabe b) Bestimmung der y-Koordinate \(y_s\)
Die Gerade \(g\) geht durch \(S(0|y_s)\) und \(H(2|4)\). * Steigung \(m = \frac{4 - y_s}{2 - 0} = 2 - 0,5y_s\) * Gleichung: \(g(x) = (2 - 0,5y_s)x + y_s\)
Flächenberechnung: Die Fläche zwischen \(f\) und \(g\) im Intervall \([0;2]\) soll 4 FE betragen. Da \(f(x)\) im Punkt \(H(2|4)\) endet und dort den Wert 4 hat, während \(g(x)\) dort ebenfalls durchgeht, berechnen wir: $\(\int_{0}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx = 4\)$
Wir wissen bereits: \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4\) (aus Aufg. a). Also folgt: $\(\int_{0}^{2} g(x) \, dx - \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4\)$ $\(\int_{0}^{2} g(x) \, dx - 4 = 4 \implies \int_{0}^{2} g(x) \, dx = 8\)$
Die Fläche unter der Geraden \(g\) ist ein Trapez mit den parallelen Seiten \(y_s\) und \(4\) sowie der Breite \(2\): $\(A_{\text{Trapez}} = \frac{y_s + 4}{2} \cdot 2 = 8\)$ $\(y_s + 4 = 8 \implies y_s = 4\)$
Alternative: Wäre die Gerade unterhalb der Kurve, müsste man \(f(x) - g(x)\) rechnen. Dies würde jedoch zu \(y_s = -4\) führen (je nach Lage der Graphen). Da die Gerade durch \(H(2|4)\) geht und die Fläche 4 FE betragen soll, ist \(y_s = 4\) die Lösung (in diesem Fall ist \(g(x)\) eine waagerechte Gerade).
Ergebnis: Die y-Koordinate des Schnittpunktes \(S\) ist \(y_s = 4\).