Gegebenes Teilungsverhältnis - Lösung
Teilaufgabe a) Berechnung des Flächeninhalts
- Nullstellen berechnen:
\[\begin{align*}
x^3 - \frac{11}{2}x^2 + 7x = 0\\
x(x^2 - 5,5x + 7) = 0
\end{align*}\]
Die erste Nullstelle ist bei \(x_1 = 0\).
Mittels p-q-Formel und \(x^2 - 5,5x + 7 = 0\) erhält man, dass die zweite Nullstelle bei \(x_2 = 2\) und die dritte Nullstelle bei \(x_3 = 3,5\) ist.
- Teilflächen berechnen:
\[\begin{align*}
A_1 &= \int_{0}^{2} (x^3 - 5,5x^2 + 7x) \, dx\\
&= [\frac{1}{4}x^4 - \frac{11}{6}x^3 + 3,5x^2]_0^2\\
&= 4 - \frac{44}{3} + 14 = \frac{10}{3} \approx 3,33
\end{align*}\]
und
\[\begin{align*}
A_2 &= \int_{2}^{3,5} (x^3 - 5,5x^2 + 7x) \, dx\\
&= [\dots]_2^{3,5} \approx -1,55
\end{align*}\]
- Gesamtfläche:
\(A_{ges} = \frac{10}{3} + |-1,55| = 4,88\) FE
Teilaufgabe b) Gerade \(x = a\)
Die Gesamtfläche beträgt ca. \(4,88\) FE. Ein Drittel davon (\(1:2\) Teilung) ist: $A_{teil} = 4,88 / 3 \approx 1,627 $ FE.
Da die erste Teilfläche \(A_1\) bereits \(3,33\) FE groß ist, muss die Gerade \(x = a\) innerhalb des ersten Intervalls \([0; 2]\) liegen.
Ansatz:
\[\int_{0}^{a} (x^3 - 5,5x^2 + 7x) \, dx = 1,627$$
$$[\frac{1}{4}x^4 - \frac{11}{6}x^3 + 3,5x^2]_0^a = 1,627$$
$$\frac{1}{4}a^4 - \frac{11}{6}a^3 + 3,5a^2 = 1,627\]
Diese Gleichung 4. Grades wird üblicherweise mit einem WTR/CAS gelöst. Ergebnis: \(a \approx 0,886\) (für den linksseitigen Teil \(1/3\)). Die negative Lösung \(a\approx -0,59\) entfällt im Intervall \([0; 2]\).