Symmetrie erkennen - Lösung
a) \(f(x) = (x - 1)^2 + 1\) Dies ist eine Normalparabel, die um 1 Einheit nach rechts und 1 Einheit nach oben verschoben wurde. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1|1)\).
- Symmetrie: Achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\).
b) \(g(x) = \frac{1}{x} - 1\) Die Grundfunktion \(\frac{1}{x}\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Durch die Verschiebung um 1 nach unten verschiebt sich auch das Symmetriezentrum.
- Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Punkt \(P(0|-1)\).
c) \(h(x) = \frac{1}{(x - 1)^3} - 2\) Die Grundfunktion \(\frac{1}{x^3}\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Diese wurde um 1 nach rechts und 2 nach unten verschoben.
- Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Punkt \(P(1|-2)\).
d) \(i(x) = x^4 - 2x^2 + 1\) Da alle Exponenten gerade sind (\(4, 2\) und \(x^0\) für die Konstante), liegt eine Symmetrie zur \(y\)-Achse vor.
- Symmetrie: Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (bzw. \(x = 0\)).
Rechnerischer Nachweis für \(i(x)\)
Um Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse zu zeigen, muss die Bedingung \(i(-x) = i(x)\) erfüllt sein.
Ansatz:
Da \(i(-x) = i(x)\) gilt, ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. (q.e.d.)