Tangente und Ursprungsnormale - Tipp

Zu Teilaufgabe a)

Eine Gerade ist eine Tangente an \(f\), wenn sie an einer Stelle \(x_0\) die gleiche Steigung wie die Funktion hat (\(f'(x_0) = m_t\)) und durch denselben Punkt geht (\(f(x_0) = t(x_0)\)).

1. Berechnen Sie die Ableitung \(f'(x)\).
2. Setzen Sie \(f'(x) = 6\) (Steigung der Tangente), um mögliche Stellen \(x_0\) zu finden.
3. Prüfen Sie für diese Stellen, ob \(f(x_0) = t(x_0)\) gilt.

Zu Teilaufgabe b)

Nutzen Sie für die Ursprungsgerade den Ansatz \(n(x) = m \cdot x\). Damit diese Gerade eine Normale an der Stelle \(x\) ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

1. Der Punkt der Funktion liegt auf der Geraden: \(m \cdot x = f(x)\).
2. Die Steigung der Geraden ist orthogonal zur Tangentensteigung: \(m = -\frac{1}{f'(x)}\) bzw. \(\frac{-1}{m} = f'(x)\). Lösen Sie dieses Gleichungssystem nach \(m\) auf.