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Tangente mit Parameter - Lösung

a) Bestimmung des Parameters \(a\)

Die Funktion ist \(f_a(x) = a \cdot x^{-2}\). Die Ableitung lautet: \(f_a'(x) = -2a \cdot x^{-3} = -\frac{2a}{x^3}\).

Damit die Tangente mit den Achsen ein gleichschenkliges Dreieck bildet, muss ihre Steigung \(m = -1\) sein (da sie den I. Quadranten von links oben nach rechts unten schneidet). $$ \begin{aligned} f_a'(1) &= -1 \\ -\frac{2a}{1^3} &= -1 \\ -2a &= -1 \\ a &= 0,5 \end{aligned} $$

b) Angabe der Tangentengleichung

Mit \(a = 0,5\) lautet die Funktion \(f_{0,5}(x) = \frac{0,5}{x^2}\). Der Berührpunkt bei \(x_0 = 1\) ist: \(y_0 = f_{0,5}(1) = \frac{0,5}{1^2} = 0,5 \Rightarrow P(1|0,5)\).

Die Steigung ist \(m = -1\). Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form: $$ \begin{aligned} t(x) &= -1 \cdot (x - 1) + 0,5 \\ t(x) &= -x + 1 + 0,5 \\ t(x) &= -x + 1,5 \end{aligned} $$

c) Berechnung des Flächeninhalts

Das Dreieck wird begrenzt durch die Achsenabschnitte der Tangente \(t(x) = -x + 1,5\).

  • \(y\)-Achsenabschnitt (\(x=0\)): \(t(0) = 1,5\).
  • \(x\)-Achsenabschnitt (\(y=0\)): \(0 = -x + 1,5 \Rightarrow x = 1,5\).

Da es ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(a = 1,5\) und \(b = 1,5\) ist, gilt: $$ \begin{aligned} A &= \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot 1,5 \\ A &= \frac{1}{2} \cdot 2,25 \\ A &= 1,125 \end{aligned} $$

Ergebnis: Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(1,125\) Flächeneinheiten.