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Designervase - Tipp

Designervase Designervase

Graph der Desigernvase und schematische Darstellung der Vase in der Box.

Aufgabe a) Modellierung der Kontur

Um die Funktion 3. Grades \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) aufzustellen, benötigst du vier Bedingungen aus dem Text:

  1. Punkte einsetzen: Nutze den Bodenradius bei \(x=0\), den Radius an der breitesten Stelle bei \(x=6\) und den Radius der Öffnung bei \(x=20\).
  2. Achtung Durchmesser: Bei \(x=6\) ist der Durchmesser 10 cm angegeben. Der Funktionswert \(f(6)\) entspricht dem Radius.
  3. Die vierte Bedingung: "Breiteste Stelle" bedeutet mathematisch, dass dort ein lokales Maximum vorliegt. Die Steigung der Tangente (1. Ableitung) muss dort also null sein: \(f'(6)=0\).
  4. LGS: Nutze den CAS, um das System aus diesen vier Gleichungen zu lösen.

Aufgabe b) Schaumstoffvolumen

  1. Box-Maße: Die Box umschließt die Vase komplett. Da der maximale Radius \(5 \, \text{cm}\) beträgt und überall \(1 \, \text{cm}\) Schaumstoff hinkommt, berechne die Breite der Box über den Durchmesser plus Polsterung.
  2. Höhe: Die Vase ist \(20 \, \text{cm}\) hoch. Addiere \(1 \, \text{cm}\) für den Boden und \(1 \, \text{cm}\) für den Deckel der Box.
  3. Rechnung: \(V_{Schaum} = V_{Box} - V_{Vase}\).

Aufgabe c) Gewicht der Vase

  1. Zwei Volumina: Berechne das Außenvolumen \(V_a\) (Integral von \(f\) über \([0; 20]\)).
  2. Innenform: Das Innenvolumen \(V_i\) berechnest du mit \(g(x) = f(x) - 0,5\). Da der Boden \(0,5 \, \text{cm}\) dick ist, startet das Integral erst bei \(x=0,5\).
  3. Masse: \(m = (V_a - V_i) \cdot \rho\). Achte darauf, im CAS mit exakten Werten zu rechnen, um Rundungsfehler zu vermeiden!