Achsensymmetrische Funktion - Lösung

a) Mathematische Bedingungen

Aufgrund der Achsensymmetrie zur y-Achse wählen wir den Ansatz: $$ \begin{aligned} f(x) &= ax^4 + cx^2 + e \\ f'(x) &= 4ax^3 + 2cx \end{aligned} $$

Daraus ergeben sich folgende Bedingungen:

Schnittpunkt y-Achse: $f(0) = -4$
Punkt des Hochpunkts: $f(2) = 4$
Waagerechte Tangente: $f'(2) = 0$

b) Ermittlung der Funktionsgleichung

Schritt 1: Parameter $e$ bestimmen Aus $f(0) = -4$ folgt direkt: $$ \begin{aligned} a \cdot 0^4 + c \cdot 0^2 + e &= -4 \\ e &= -4 \end{aligned} $$

Schritt 2: Gleichungssystem für $a$ und $c$ aufstellen Wir setzen $e = -4$ und den Punkt $H(2|4)$ in $f(x)$ sowie $x=2$ in $f'(x)$ ein:

I. $f(2) = 4 \implies a \cdot 2^4 + c \cdot 2^2 - 4 = 4$
II. $f'(2) = 0 \implies 4a \cdot 2^3 + 2c \cdot 2 = 0$

Vereinfacht:

I. $16a + 4c = 8$
II. $32a + 4c = 0$

Schritt 3: Gleichungssystem lösen Subtrahiere Gleichung I von Gleichung II: $$ \begin{aligned} (32a + 4c) - (16a + 4c) &= 0 - 8 \\ 16a &= -8 \\ a &= -0,5 \end{aligned} $$

Setze $a = -0,5$ in Gleichung II ein: $$ \begin{aligned} 32 \cdot (-0,5) + 4c &= 0 \\ -16 + 4c &= 0 \\ 4c &= 16 \\ c &= 4 \end{aligned} $$

Ergebnis: Die gesuchte Funktionsgleichung lautet: $$ \begin{aligned} f(x) = -0,5x^4 + 4x^2 - 4 \end{aligned} $$